הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לתרגיל 1.8 בחוברת לינארית"
מתוך Math-Wiki
(דף חדש: ==תרגיל 1.8== יהיה <math>V</math> ממ"פ ממימד <math>n</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...v_n \in V</math>. נגדיר את מטריצת גרהם <math>A</math>…) |
(←פתרון) |
||
שורה 59: | שורה 59: | ||
בכיוון ההפוך, נניח <math>u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math> לכן ברור ש<math><w,u>=<w,0>=0</math> לכל וקטור <math>w</math>, ולכן | בכיוון ההפוך, נניח <math>u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math> לכן ברור ש<math><w,u>=<w,0>=0</math> לכל וקטור <math>w</math>, ולכן | ||
− | <math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=<v_i,u=0 | + | <math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=<v_i,u>=0</math> |
גרסה אחרונה מ־20:30, 19 בנובמבר 2009
תרגיל 1.8
יהיה ממ"פ ממימד . יהיו וקטורים . נגדיר את מטריצת גרהם ע"י . הוכח:
ת"ל
פתרון
נסתכל על צירוף לינארי כללי של עמודות :
זה שווה עפ"י כמו לינאריות במשתנה שני ל
זה שווה לאפס אם
טענת עזר (נוכיח אותה מיד):
לכן הגענו למסקנה ש
לכן
יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של עמודות המטריצה אם"ם יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של הוקטורים .
נובע מיידית ש עמודות ת"ל הוקטורים ת"ל
מ.ש.ל
הוכחת טענת העזר
נניח
אזי גם
ולכן גם הסכום שלהם שווה אפס
ולפי לינאריות במשתנה ראשון זה שווה
אבל הסכום בשני הצדדים הוא אותו סכום בדיוק! נסמן ולכן וזה נכון רק אם כלומר
בכיוון ההפוך, נניח לכן ברור ש לכל וקטור , ולכן