הבדלים בין גרסאות בדף "קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי"

גרסה אחרונה מ־15:54, 18 בנובמבר 2009

משפט

$A$ לכסינה $\iff$ הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה $m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)$ עבור $\lambda_1,...,\lambda_k$ הע"ע השונים של $A$

הוכחה

$\Leftarrow$

$A$ לכסינה ולכן קיים בסיס של ו"ע של $A$ נקרא לו $B=\{v_1,...v_n\}$ . ברור שהפולינום המינימלי של $A$ חייב להכיל את הגורמים האי פריקים $t-\lambda_i$ לכל הע"ע של $A$ . לכן אם הפולינום $p(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)$ מקיים $p(A)=0$ אזי הוא הפולינום המינימלי (בוודאי אין פולינום קטן ממנו...)

אנו יודעים שעבור כל $v_i$ קיים $\lambda_j$ כך ש $Av_i=\lambda_j v_i$ . מה הערך של $(A-\lambda_r)v_i$ עבור $r\neq j$ ?

$(A-\lambda_r)v_i = \lambda_j v_i - \lambda_r v_i = (\lambda_j - \lambda_r)v_i$

הבה נסתכל ב $p(A)v_i$ :

$p(A)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)\cdots(A-\lambda_kI)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)v_i=$

$=(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)v_i$

אבל $(A-\lambda_jI)v_i=0$

ולכן $p(A)v_i=0$ לכל $v_i \in B$

$B$ בסיס ולכן כל וקטור $v$ ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי $B$ :

$v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i$

ולכן $p(A)v=p(A)\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i=\sum_{i=1}^{n}\alpha_ip(A)v_i=0$

אם $p(A)\neq 0$ אז קיימת לה עמודה $j$ שונה מאפס, אזי $p(A)e_j=C_j(p(A))\neq 0$ . אבל ראינו ש $\forall v \in V :p(A)v=0$ ולכן $p(A)=0$ ולכן $p=m_A$ .

$\Rightarrow$

קודם כל הפולינום המינימלי של $A$ מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום האופייני של $A$ .

$n_i$ כלומר החזקה של הגורם $t-\lambda_i$ בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של $A$ . לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי של כל ע"ע בצורת הז'ורדן של $A$ הוא מגודל אחד. כלומר $A$ לכסינה (כי היא סכום ישר של מטריצות בגודל $1\times1$ ).

@@ שורה 31: / שורה 31: @@
 ולכן <math>p(A)v=p(A)\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i=\sum_{i=1}^{n}\alpha_ip(A)v_i=0</math>
-אם <math>p(A)\neq 0</math> אז קיימת לה עמודה <math>j</math> שונה מאפס, אזי <math>p(A)e_j\neq 0</math>. אבל ראינו ש <math>\forall v \in V :p(A)v=0</math> ולכן <math>p(A)=0</math> ולכן <math>p=m_A</math>.
+אם <math>p(A)\neq 0</math> אז קיימת לה עמודה <math>j</math> שונה מאפס, אזי <math>p(A)e_j=C_j(p(A))\neq 0</math>. אבל ראינו ש <math>\forall v \in V :p(A)v=0</math> ולכן <math>p(A)=0</math> ולכן <math>p=m_A</math>.
 '''<math>\Rightarrow</math>'''
-קודם כל הפולינום המינימלי של <math>A</math> מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום המאפיין של <math>A</math>.
+קודם כל הפולינום המינימלי של <math>A</math> מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום האופייני של <math>A</math>.
-<math>n_i</math> כלומר החזקה של הגורם <math>t-\lambda_i</math> בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של <math>A</math>. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי של כל ע"ע בצורת הז'ורדן של <math>A</math> הוא מגודל אחד. כלומר <math>A</math> לכסינה (כי היא סכום ישר של מטריצות בגודל <math>1x1</math>.
+<math>n_i</math> כלומר החזקה של הגורם <math>t-\lambda_i</math> בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של <math>A</math>. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי של כל ע"ע בצורת הז'ורדן של <math>A</math> הוא מגודל אחד. כלומר <math>A</math> לכסינה (כי היא סכום ישר של מטריצות בגודל <math>1\times1</math> ).

הבדלים בין גרסאות בדף "קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי"

גרסה אחרונה מ־15:54, 18 בנובמבר 2009

משפט

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים