הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:סדרות חסומות"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "הגדרה: סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצ...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
(2 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | \begin{definition} | |
+ | סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצה חסומה). | ||
+ | \end{definition} | ||
− | + | \begin{example} | |
+ | הסדרה הזאת לא חסומה: | ||
+ | $$ 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,\cdots $$ | ||
+ | משום שלא חסומה מלעיל. | ||
+ | \end{example} | ||
− | + | \begin{thm} | |
− | + | כל סדרה מתכנסת היא חסומה | |
− | + | \end{thm} | |
− | \ | + | \begin{proof} |
+ | נניח שהסדרה מתכנסת ל- $ L $, ולכן לכל אפסילון קיים $ N $ כך ש-\\ | ||
+ | $ \forall n>N : |a_n-L|<\varepsilon $. בפרט, עבור $ \varepsilon=1 $. נגדיר | ||
+ | $$ M=\max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|L+1|\} $$ | ||
+ | ונראה ש- $\forall n : |a_n|\leq M $ משום שאם $ n\leq N $ אז האיבר $ |a_n| $ נמצא בקבוצה ש-$ M $ הוא המקסימום שלה, ואם $ n>N $ אז גם ככה $ |a_n-L|<1 $ ולכן $ |a_n|<|L|+1\leq M $ . | ||
+ | \end{proof} | ||
− | \ | + | \begin{example} |
+ | הסדרות $a_n=n$ ו- $b_n=(-1)^n\cdot n $ לא חסומות, ומכאן שהן לא מתכנסות. | ||
+ | \end{example} | ||
− | + | \begin{remark} | |
+ | המשפט ההפוך לא נכון. לדוגמה הסדרה $ a_n=(-1)^n $ חסומה מלעיל ע"י 1 ומלרע ע"י $ -1 $ אבל לא מתכנסת | ||
+ | \end{remark} |
גרסה אחרונה מ־22:13, 6 באוקטובר 2014
\begin{definition} סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצה חסומה). \end{definition}
\begin{example} הסדרה הזאת לא חסומה: $$ 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,\cdots $$ משום שלא חסומה מלעיל. \end{example}
\begin{thm} כל סדרה מתכנסת היא חסומה \end{thm}
\begin{proof} נניח שהסדרה מתכנסת ל- $ L $, ולכן לכל אפסילון קיים $ N $ כך ש-\\ $ \forall n>N : |a_n-L|<\varepsilon $. בפרט, עבור $ \varepsilon=1 $. נגדיר $$ M=\max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|L+1|\} $$ ונראה ש- $\forall n : |a_n|\leq M $ משום שאם $ n\leq N $ אז האיבר $ |a_n| $ נמצא בקבוצה ש-$ M $ הוא המקסימום שלה, ואם $ n>N $ אז גם ככה $ |a_n-L|<1 $ ולכן $ |a_n|<|L|+1\leq M $ . \end{proof}
\begin{example} הסדרות $a_n=n$ ו- $b_n=(-1)^n\cdot n $ לא חסומות, ומכאן שהן לא מתכנסות. \end{example}
\begin{remark} המשפט ההפוך לא נכון. לדוגמה הסדרה $ a_n=(-1)^n $ חסומה מלעיל ע"י 1 ומלרע ע"י $ -1 $ אבל לא מתכנסת \end{remark}