הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:שארית לגרנז' של פולינום טיילור"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> \begin{thm} תהי $f\in D^{n+1}(a,b) $ אזי $f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)(c)}{(n+...") |
מ (4 גרסאות יובאו) |
||
| (3 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
\begin{thm} | \begin{thm} | ||
| − | תהי $f\in D^{n+1}(a,b) $ אזי $f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $ כאשר $c\in[x_0,x] \cup [x,x_0] $ (לא ידוע מי קטן יותר ממי), | + | תהי $f\in D^{n+1}(a,b) $ אזי |
| + | |||
| + | $$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$ | ||
| + | |||
| + | כאשר $c\in[x_0,x] \cup [x,x_0]$ (לא ידוע מי קטן יותר ממי), דרך אחרת לכתוב את זה היא\\ | ||
| + | $\exists 0\leq t\leq 1 : c=x_0+t(x-x_0) $ . במילים אחרות | ||
$$R_n(x,x_0)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$ | $$R_n(x,x_0)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$ | ||
| שורה 11: | שורה 13: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
| + | יהיו $x,x_0 $ אזי מההגדרה $R_n(x,x_0)=f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k $ | ||
| + | כעת נגדיר $\varphi (t) = R_n (x,t) $ ונראה ש- | ||
| + | |||
| + | $$ \varphi (t)=f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k $$ | ||
| + | |||
| + | נגדיר גם בשביל הפשטות $\psi (t) = (x-t)^{n+1} $ | ||
| + | |||
| + | נניח בה"כ ש- $x<x_0 $ , ועבור המצב ההפוך נעשה באופן אנלוגי: | ||
| + | |||
| + | ממשפט הערך הממוצע של קושי נקבל ש- $\exists c : \frac{\varphi(x_0)-\varphi(x)}{\psi(x_0)-\psi(x)}=\frac{\varphi'(c)}{\psi'(c)} $ | ||
| + | |||
| + | כעת נשים לב ש- | ||
| + | |||
| + | $$\varphi'(t)=\left ( f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\right ) ' =0-\sum_{k=0}^n \left ( \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\right ) ' $$ | ||
| + | |||
| + | (הנגזרת של $f(x) $ זה $0$ משום שזהו מספר קבוע כי קבענו את $x$ בהתחלה ) . כעת אם נשתמש בכלל לייבניץ ונגזור בזהירות, נשים לב שזה פשוט $-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (x-t)^n $ | ||
| + | |||
| + | עכשיו אם נחזור למסקנה של משפט קושי, | ||
| + | |||
| + | $$\exists c : \frac{\varphi'(c)}{\psi'(c)}=\frac{\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n}{(n+1)(x-c)^n}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} =\frac{\varphi(x_0)-\varphi(x)}{\psi(x_0)-\psi(x)}=$$ | ||
| + | |||
| + | $$ \frac{R_n(x,x_0)-0}{(x-x_0)^{n+1}} \Rightarrow R_n(x) =\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$ | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
| − | + | \begin{example} | |
| − | < | + | חשב את $\log 1.5 $ בקירוב של 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.\\ |
| + | פתרון: נסתכל על $f(x)=\log(1+x) $ . נראה כי | ||
| + | $$P_7(x,0)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^7}{7}$$ | ||
| + | לפי לגרנז' השארית $f(0.5)-P_7(0.5,0)=R_7(0.5,0)=\frac{f^{(8)}(c)}{8!} (0.5-0)^8 $ עבור\\ | ||
| + | $0<c<0.5$ | ||
| + | $$|f^{(8)}(c)|=\left |-\frac{5040}{(1+c)^8}\right | \leq \frac{5040}{(1+0)^5} = 5040 $$ | ||
| + | (אי השיוויון נכון משום ש-$c\in (0,0.5) $ ) | ||
| + | |||
| + | מכאן ש- | ||
| + | |||
| + | $$|f(0.5)-P_7(0.5,0)|\leq \frac{5040}{8!} 0.5^8 < 0.001 $$ | ||
| + | |||
| + | לכן הפולינום מסדר 7 נותן קירוב טוב מספיק, ואז אם נציב $x=0.5$ נקבל מספר ש-3 הספרות הראשונות שלו אחרי הנקודה הן $0.405$ ולכן אם ניקח את הקירוב ל-2 ספרות אחרי הנקודה נקבל $0.41$ . | ||
| + | \end{example} | ||
גרסה אחרונה מ־20:22, 4 באוקטובר 2014
\begin{thm} תהי $f\in D^{n+1}(a,b) $ אזי
$$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$
כאשר $c\in[x_0,x] \cup [x,x_0]$ (לא ידוע מי קטן יותר ממי), דרך אחרת לכתוב את זה היא\\ $\exists 0\leq t\leq 1 : c=x_0+t(x-x_0) $ . במילים אחרות
$$R_n(x,x_0)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$
כאשר $c$ תלוי ב- $x$ . \end{thm}
\begin{proof} יהיו $x,x_0 $ אזי מההגדרה $R_n(x,x_0)=f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k $
כעת נגדיר $\varphi (t) = R_n (x,t) $ ונראה ש-
$$ \varphi (t)=f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k $$
נגדיר גם בשביל הפשטות $\psi (t) = (x-t)^{n+1} $
נניח בה"כ ש- $x<x_0 $ , ועבור המצב ההפוך נעשה באופן אנלוגי:
ממשפט הערך הממוצע של קושי נקבל ש- $\exists c : \frac{\varphi(x_0)-\varphi(x)}{\psi(x_0)-\psi(x)}=\frac{\varphi'(c)}{\psi'(c)} $
כעת נשים לב ש-
$$\varphi'(t)=\left ( f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\right ) ' =0-\sum_{k=0}^n \left ( \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\right ) ' $$
(הנגזרת של $f(x) $ זה $0$ משום שזהו מספר קבוע כי קבענו את $x$ בהתחלה ) . כעת אם נשתמש בכלל לייבניץ ונגזור בזהירות, נשים לב שזה פשוט $-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (x-t)^n $
עכשיו אם נחזור למסקנה של משפט קושי,
$$\exists c : \frac{\varphi'(c)}{\psi'(c)}=\frac{\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n}{(n+1)(x-c)^n}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} =\frac{\varphi(x_0)-\varphi(x)}{\psi(x_0)-\psi(x)}=$$
$$ \frac{R_n(x,x_0)-0}{(x-x_0)^{n+1}} \Rightarrow R_n(x) =\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$ \end{proof}
\begin{example} חשב את $\log 1.5 $ בקירוב של 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.\\ פתרון: נסתכל על $f(x)=\log(1+x) $ . נראה כי $$P_7(x,0)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^7}{7}$$ לפי לגרנז' השארית $f(0.5)-P_7(0.5,0)=R_7(0.5,0)=\frac{f^{(8)}(c)}{8!} (0.5-0)^8 $ עבור\\ $0<c<0.5$ $$|f^{(8)}(c)|=\left |-\frac{5040}{(1+c)^8}\right | \leq \frac{5040}{(1+0)^5} = 5040 $$ (אי השיוויון נכון משום ש-$c\in (0,0.5) $ )
מכאן ש-
$$|f(0.5)-P_7(0.5,0)|\leq \frac{5040}{8!} 0.5^8 < 0.001 $$
לכן הפולינום מסדר 7 נותן קירוב טוב מספיק, ואז אם נציב $x=0.5$ נקבל מספר ש-3 הספרות הראשונות שלו אחרי הנקודה הן $0.405$ ולכן אם ניקח את הקירוב ל-2 ספרות אחרי הנקודה נקבל $0.41$ . \end{example}
