הבדלים בין גרסאות בדף "89-214 סמסטר א' תשעה"
(יצירת דף עם התוכן "'''89-214 מבנים אלגבריים''' =קישורים= * '''שאלות ותשובות''' * '''89-214 מב...") |
(←הודעות כלליות) |
||
(7 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 6: | שורה 6: | ||
* '''[[89-214 מבנים אלגבריים סמסטר א תשעה/תרגילים|תרגילים]]''' | * '''[[89-214 מבנים אלגבריים סמסטר א תשעה/תרגילים|תרגילים]]''' | ||
+ | |||
+ | * '''[[89-214 מבנים אלגבריים סמסטר א תשעה/מערכי תירגול|מערכי תירגול]]''' | ||
=הודעות כלליות= | =הודעות כלליות= | ||
ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים! | ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים! | ||
+ | |||
+ | '''' | ||
+ | == ציוני תרגיל סופיים == | ||
+ | מפורסמים בדף התרגילים. ערעורים יתקבלו עד יום חמישי, אצל שירה במייל. | ||
+ | |||
+ | = השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו') = | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל'''. תהי <math>G</math> חבורה מסדר <math>p^2</math> (<math>p</math> ראשוני). הראו כי <math>|Z(G)|\neq p</math>. | ||
+ | |||
+ | '''פתרון'''. נניח בשלילה כי <math>|Z(G)|=p</math>. מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים <math>a \in Z(G)</math> שיקיים <math><a>=Z(G)</math>. בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר <math>b \in G-Z(G)</math>. ננסה להראות כי <math>b</math> הזה מתחלף עם כל איברי <math>G</math>, ולכן <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לבחירת <math>b</math>. | ||
+ | |||
+ | ראשית, נשים לב לכך שהסדר של <math>b</math> הוא <math>p</math>; אילו הסדר היה <math>p^2</math> אז <math>b</math> היה יוצר של כל <math>G</math>, ואילו הסדר היה <math>1</math> אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של <math>a</math> גם הוא <math>p</math>, באופן ברור. | ||
+ | |||
+ | כעת, נביט בקבוצה <math>H=<a,b>=\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\}</math>. נראה כי <math>H</math> היא קבוצה מעוצמה <math>p^2</math>: נניח כי קיימים <math>(i,j)\neq(i',j')</math> עבורם <math>{a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}}</math>. על ידי בידוד איברים, נקבל <math>a^{i-i'}=b^{j'-j}</math>, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים <math>e</math>, ובסתירה להנחה <math>(i,j)\neq(i',j')</math>. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת <math>H</math> היא <math>p^2</math>. | ||
+ | |||
+ | ברור ש-<math>H\subseteq G</math>, ולפי שויון עוצמות סופיות, <math>H=G</math>. לכן כל איבר ב-<math>G</math> ניתן לרשום בתור <math>a^ib^j</math>. '''(עד כאן היה בשיעור.)''' נבדוק האם <math>b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b</math>. | ||
+ | |||
+ | ראשית, נזכיר כי <math>ab=ba</math>, כי <math>a\in Z(G)</math>. לכן <math>b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1}</math>. נחזור על הטיעון <math>i</math> פעמים, ונקבל <math>b\cdot a^i=a^i\cdot b</math>. כמו כן, ברור כי <math>b\cdot b^j=b^j\cdot b</math>. ביחד, נקבל <math>b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b</math>, כנדרש. מצאנו אפוא כי <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לדרך שבה בחרנו את <math>b</math>. | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל'''. תהי <math>G</math> חבורה מסדר <math>p^2</math> (<math>p</math> ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית. | ||
+ | |||
+ | '''פתרון'''. לפי התרגיל הקודם, <math>|Z(G)|\neq p</math>. לפי נוסחת המחלקות, <math>|Z(G)|\neq 1</math> (הראנו בכיתה). לפי לגרנז', <math>|Z(G)| \mid p^2</math>, וביחד נקבל <math>|Z(G)|= p^2</math>. אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות, <math>Z(G)=G</math>, ו-<math>G</math> אבלית. |
גרסה אחרונה מ־13:03, 23 במרץ 2015
תוכן עניינים
קישורים
הודעות כלליות
ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!
'
ציוני תרגיל סופיים
מפורסמים בדף התרגילים. ערעורים יתקבלו עד יום חמישי, אצל שירה במייל.
השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו')
תרגיל. תהי חבורה מסדר ( ראשוני). הראו כי .
פתרון. נניח בשלילה כי . מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים שיקיים . בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר . ננסה להראות כי הזה מתחלף עם כל איברי , ולכן , ובסתירה לבחירת .
ראשית, נשים לב לכך שהסדר של הוא ; אילו הסדר היה אז היה יוצר של כל , ואילו הסדר היה אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של גם הוא , באופן ברור.
כעת, נביט בקבוצה . נראה כי היא קבוצה מעוצמה : נניח כי קיימים עבורם . על ידי בידוד איברים, נקבל , והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים , ובסתירה להנחה . אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת היא .
ברור ש-, ולפי שויון עוצמות סופיות, . לכן כל איבר ב- ניתן לרשום בתור . (עד כאן היה בשיעור.) נבדוק האם .
ראשית, נזכיר כי , כי . לכן . נחזור על הטיעון פעמים, ונקבל . כמו כן, ברור כי . ביחד, נקבל , כנדרש. מצאנו אפוא כי , ובסתירה לדרך שבה בחרנו את .
תרגיל. תהי חבורה מסדר ( ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית.
פתרון. לפי התרגיל הקודם, . לפי נוסחת המחלקות, (הראנו בכיתה). לפי לגרנז', , וביחד נקבל . אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות, , ו- אבלית.