גרסה אחרונה מ־18:01, 15 באוגוסט 2020

דטרמיננטות

הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית $A\in F^{n\times n}$ היא סקלר $det(A)=|A|\in F$ המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.

חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות

הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 $A=(\alpha)\in F^{1\times 1}$ היא הערך היחיד במטריצה $det(A)=\alpha$ .

הדטרמיננטה של מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}

היא  $det(A)=ad-bc$ .

למשל: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 .

חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)

סימון עבור מטריצה $A\in F^{n\times n}$ נסמן ב $M_{ij}$ את המטריצה מגודל $n-1 \times n-1$ המתקבלת מ $A$ ע"י מחיקת השורה ה $i$ והעמודה ה $j$ . זה נקרא המינור ה $ij$ של המטריצה.

דוגמא: עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} למשל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}

אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה ה $i$ :

$|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה ה $j$ :

$|A|=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$

לדוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} נפתח לפי השורה הראשונה: $|A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0$

נפתח גם לפי העמודה השנייה: $|A|=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot 8 \cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 4&6 \end{vmatrix}=0$

תכונות של הדטרמיננטה

1. כפליות $|AB|=|A||B|$ .

2. בפרט $|A^k|=|A|^k$ .

3. $|A^t|=|A|$ .

4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?). ~כן בבקשה~

5. אם $A$ הפיכה אז $|A^{-1}|=|A|^{-1}$ .

6. $A$ הפיכה אם"ם $|A|\neq 0$ .

למשל המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.

שימו לב שאין בהכרח קשר בין $|A+B|$ לבין $|A|+|B|$ . (דוגמא?)

תרגיל

נתונות מטריצות $A,B\in F^{n \times n}$ כך ש $|A|=2, |B|=-1$ . חשבו את $|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|$ .

פתרון

$|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})^t|\cdot |(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})|\cdot |(BA)|^{-2}|=|A||B|^{-1}|B|^{-2}|A|^{-2}=-\frac{1}{2}$

תרגיל

תהי $B\in F^{3\times 3}$ עם דטרמיננטה $|B|=-1$ . מצא את $|2B|$ .

פתרון

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): |2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1)

בהכללה: $|\alpha A|=\alpha^n |A|$ .

תרגיל

1. תהי $A$ מטריצה ממשית והפיכה מסדר $n$ המקיימת $A^4+2A=0$ . חשבו את $|A|$ .

2. נניח $A$ מקיימת $A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\dots +a_1A+I=0$ , הוכיחו כי היא הפיכה.

3.תהיינה $A,B$ ריבועיות מסדר $n$ אי-זוגי מעל שדה ממאפיין שונה מ2. נתון ש $AB+BA=0$ , הוכיחו כי אחת מהמטריצות איננה הפיכה.

פתרון:

1. נעביר אגפים ונקבל $A^4=-2A$ , נקח דטרמיננטה $|A|^4 =(-2)^n|A|$ ולכן $|A|=(-2)^{\frac{n}{3}}$ .

2. נעביר אגפים ונסדר $A \left( A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots +a_2A+a_1I \right) =-I$ , ומכפלת הפיכות היא הפיכה. (ומי שרוצה להפוך לתרגיל על דטרמיננטות - נקח דטרמיננטה $|A||something|=|-I|=(-1)^n$ . בפרט, $|A|\neq 0$ ולכן $A$ הפיכה).

3. נעביר אגפים $AB=-BA$ ונקח דטרמיננטה $|A||B|=(-1)^n|B||A|$ . נתון ש $n$ אי-זוגי ולכן $|A||B|=-|A||B|$ . זה מכריח ש $|A||B|=0$ ולכן או ש $|A|=0$ ואז $A$ לא הפיכה, או ש $|B|=0$ ואז $B$ לא הפיכה.

תרגיל

תהי $A$ מטריצה ממשית אנטי-סימטרית מסדר אי-זוגי. הוכיחו כי היא איננה הפיכה.

פתרון לפי הנתון $A^t=-A$ ולכן $|A|=|A^t|=|-A|=(-1)^n|A|$ מה שגורר $|A|=0$ .

שיטת הדירוג

כזכור, לבצע פעולות שורה על מטריצה זה כמו לכפול במטריצה אלמנטרית מתאימה. מכיוון ודטרמיננטה היא כפלית, והחישוב הדטרמיננטה של מטריצות אלמנטריות הוא פשוט, נקבל את הכללים הבאים:

טענה תהי $B$ מטריצה המתקבלת ממטריצה $A$ ע" פעולת שורה, אזי:

1. אם $B$ התקבלה ע"י כפל של אחת השורות ב $\alpha$ אזי $|A|=\frac{1}{\alpha}|B|$ .

2. אם $B$ התקבלה ע"י החלפת שתי שורות אזי $|A|=-|B|$ .

3. אם $B$ התקבלה ע"י הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת אזי $|A|=|B|$ .

אם כן, נוכל לחשב דטרמיננטה ע"י דירוג המטריצה עד לצורה משולשית עליונה (צורה שבה קל מאוד לחשב דטרמיננטה), ולעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה.

דוגמא $\begin{vmatrix}2&6&16\\ -3&-6&18\\ 5&12&35\end{vmatrix}=2\cdot (-3)\begin{vmatrix}1&3&8\\ 1&2&-6\\ 5&12&35 \end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&-3&-5\end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&0&37\end{vmatrix}=-6\cdot 1\cdot (-1)\cdot 37=222$

דוגמא

חשב את $|A|=\begin{vmatrix}a&1&1&\dots&1\\1&a&1&\dots &1 \\ 1&1&a&\dots &1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ 1&1&1& \dots & a\end{vmatrix}$

פתרון ראשית נסכום את כל השורות לשורה הראשונה ונקבל $|A|= \begin{vmatrix}a+n-1&a+n-1& \dots &a+n-1\\ 1&a&\dots &1\\1&1&\dots &1\\ \vdots &\vdots & \dots & \vdots \\ 1&1& \dots & a \end{vmatrix}$ נחלק את השורה הראשונה ב $a+n-1$ ונקבל: $|A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\1&a&\dots &1\\1&1&\ddots&1\\ \vdots &\vdots &{}& \vdots\\ 1&1&\dots & a\end{vmatrix}$

כעת נחסר מכל שורה את השורה הראשונה ונקבל $|A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\0&a-1&\dots &0\\0&0&\ddots &0\\0&0&\dots &a-1\end{vmatrix}=(a+n-1)1(a-1)^{n-1}$

תרגיל

יהא $V$ מ"ו ויהיו $v_{1},v_{2},\dots,v_{n}$ וקטורים. הוכיחו/הפריכו: אם $v_{1},\dots,v_{n}$ בת"ל אזי הוקטורים $v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},v_{3}+v_{4},\dots,v_{n-1}+v_{n},v_{n}+v_{1}$ בת"ל.

תרגיל

הוכיחו שלכל מטריצה $A\in\R^{n\times n}$ שכל כניסה שווה ל $\pm 1$ מתקיים כי $2^{n-1}|\det A$

פתרון: פתרון לתרגיל נמצא בדפים ישנים - כך נכתב שם: $\left|\left(\begin{array}{ccccc} \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1 \end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{ccccc} \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ 0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\ 0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0 \end{array}\right)\right|=$

$\left|\left(\begin{array}{ccccc} \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ 0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\ 0 & 0 & \pm4,0 & \cdots & \pm4,0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \pm4,0 & \cdots & \pm4,0 \end{array}\right)\right|=\cdots=\left|\left(\begin{array}{ccccc} \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ 0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\ 0 & 0 & \pm4,0 & \cdots & \pm4,0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \pm2^{n-1},0 \end{array}\right)\right|$

מה דעתכם על הפתרון? האם יש פתרון נוסף? האם ניתן לחזק את הטענה ל $2^{n}|\det A$ ?

תרגיל

נתונה מטריצה ריבועית $A\in F^{5\times 5}$ , משנים את סדר השורות של $A$ באופן הבא:

את השורה הראשונה שמים במקום השנייה את השורה השנייה שמים במקום החמישית את השורה החמישית שמים במקום הרביעית את השורה הרביעית שמים במקום הראשונה

כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{--R_1--\\ --R_2--\\ --R_3--\\ --R_4--\\ --R_5--} \rightarrow \pmatrix{--R_4--\\ --R_1--\\ --R_3--\\--R_5--\\--R_2--}=B

חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת, $B$ , בעזרת $|A|$ .

פתרון: את המטריצה החדשה אפשר לקבל ע"י רצף החלפות שורה: $R_1\leftrightarrow R_2, R_1\leftrightarrow R_4,R_4\leftrightarrow R_5$ .

ולכן $|B|=(-1)(-1)(-1)|A|=-|A|$ .

הערה מכיוון ו $|A|=|A^t|$ מותר בחישוב הדטרמיננטה לעשות גם פעולות עמודה אלמנטריות, השינוי בדטרמיננטה הוא דומה.

תרגיל

נתון ש $\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=2$ . חשבו את $\begin{vmatrix} i-4c&f&2i+f\\g-4a&d&2g+d\\h-4b&e&2h+e \end{vmatrix}$ .

פתרון: נשתמש בפעולות שורה ועמודה ונעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה:

$|A|=^{C_3-C_2} \begin{vmatrix}i-4c&f&2i\\g-4a&d&2g\\h-4b&e&2h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{2}C_3}2\begin{vmatrix}i-4c&f&i\\g-4a&d&g\\h-4b&e&h\end{vmatrix}=^{C_1-C_2}2\begin{vmatrix}-4c&f&i\\-4a&d&g\\-4b&e&h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{-4}C_1}2(-4)\begin{vmatrix}c&f&i\\a&d&g\\b&e&h\end{vmatrix}=\dots =-16$

תרגיל מטריצת ונדרמונד

הגדרה: יהיו $a_1,\dots a_n\in \mathbb{F}$ סקלארים. מטריצת ונדרמונד $V=V(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{F}^{n\times n}$ מוגדרת להיות $V=\begin{vmatrix} 1&a_1&a_{1}^{2}& \cdots& a_{1}^{n-1}\\ 1&a_2&a_{2}^{2}& \cdots& a_{2}^{n-1}\\ \vdots & & & & \\ 1&a_n&a_{n}^{2}& \cdots& a_{n}^{n-1} \end{vmatrix}$

הוכיחו כי $|V(a_1,\dots ,a_n)|=\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_j-a_i)$

פתרון: באינדקוציה על $n$ . בסיס: מוזמנים לבדוק עבור $n=2$

צעד:

נבצע

$C_n\leftarrow C_n-a_1C_{n-1}$
$C_{n-1}\leftarrow C_{n-1}-a_1C_{n-2}$

וכו' עד

$C_{2}\leftarrow C_2-a_1C_{1}$

לאחר מכן נוכל

להוציא גורם משותף $a_2-a_1$ מהשורה השניה
להוציא גורם משותף $a_3-a_1$ מהשורה השלישית

וכו עד

להוציא גורם משותף $a_n-a_1$ מהשורה האחרונה

נמשיך לפתח לפי שורה ראשונה ונקבל כי $|V(a_1,\dots,a_n)|=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot |V(a_2,\dots ,a_n)|=$ לפי הנחת האינדוקציה, נוכל להמשיך

$=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)=\prod_{1\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)$

מסקנה: מטריצת ונדרמונט הפיכה אמ"מ $a_1,\dots ,a_n$ שונים זה מזה.

המטריצה הנילוות (המצורפת)

הגדרה תהי $A\in F^{n\times n}$ , המטריצה נילווית שלה היא המטריצה $adj(A)_{i,j}=\left( (-1)^{i+j}|M_{ji}| \right)_{ij}$ .

(שימו לב להחלפה בין $i$ ו $j$ !)

דוגמא?

המשפט המרכזי

$A(adjA)=(adjA)A=|A|I$

תוצאה: אם $A$ הפיכה אז $A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}$ .

תרגיל

תהי $A\in F^{n\times n}$ מטריצה.

1. הוכח כי $|adjA|=|A|^{n-1}$ .

2. נניח כי המטריצה הפיכה, חשבו את $adj \left( adjA \right)$ .

3. מצאו את $adj \left( adjA \right)$ גם במקרה שהמטריצה אינה הפיכה.

פתרון

1. ראשית נניח כי $|A|\neq 0$ , אזי נפעיל דטרמיננטה על שני האגפים: $|AadjA|=||A|I|$ ונקבל $|A||adjA|=|A|^n$ נחלק בדטרמיננטה ואז $|adjA|=|A|^{n-1}$ כדרוש.

כעת נניח $|A|=0$ וצריך להוכיח כי $|adjA|=0$ . לפי המשפט $(adjA)A=|A|I=0$

אם $A=0$ אז ברור ש $adjA=0$ לפי ההגדרה. אחרת, יש איזשהי עמודה של $A$ שהיא לא אפס, $C_k(A)$ . ואז $adjA\cdot C_k(A)=0$ מה שאומר ש $adjA$ לא הפיכה ואז $|adjA|=0$ .

2. נשתמש במשפט עבור המטריצה $B=adjA$ , אזי $(adjA)\cdot (adj(adjA)=|adjA|I$ . ולפי הסעיף הקודם נקבל ש $adj(adjA)=adjA^{-1}|A|^{n-1}$ . ומכיוון ו $adjA^{-1}=\frac{A}{|A|}$ אז $adj(adjA)=A|A|^{n-2}$ .

3. רמז: לתשובה של סעיף זה ולסעיף הקודם יש קשר הדוק.

תרגיל

תהי $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ המקיימת $(A+I)^2=0$ .

א. הוכיחו כי $A$ הפיכה.

ב. הביעו את $adjA$ באמצעות $A,I,|A|$ בלבד.

פתרון:

א. נפתח ונקבל $(A+I)^2 =A^2+AI+IA+I^2=A^2+2A+I$ נעביר אגפים ונקבל $A(-1)(A+2I)=I$ ולכן $A$ הפיכה.

ב.לפי המשפט $adjA=|A| A^{-1}$ ולכן בעצם נשאר למצוא ביטוי ל $A^{-1}$ . לפי הסעיף הקודם $A^{-1}=-A-2I$ ולכן $adjA=(-A-2I)|A|$ .

תרגיל

יהיו A,B ריבועיות (מגודל $n\times n$ ׂ. הוכיחו כי $adj(AB)=adj(B)adj(A)$

פתרון:

מקרה 1: גם A וגם B הפיכות: מקרה פשוט - מוזמנים להוכיח בעזרת המשפט $A\cdot adj(A)=det(A)\cdot I$

מקרה 2: A או B מדרגה קטנה שווה ל $n-2$ : גם מקרה פשוט לאור העובדה שעבור מטריצה A שדרגתה קטנה שווה ל $n-2$ מתקיים כי $adj(A)=0$ ובנוסף $rank(AB)\leq rank(A),rank(B)$

מקרה 3 - אחרת: יהיו i,j נתונים. השתכנעו כי ניתן להגדיר מטריצה $A'$ כך שהיא זהה ל A פרט אולי לשורה i ומטריצה $B'$ שזהה למטריצה B פרט אולי לעמודה j המקיימות כי: או ש $A'$ וגם $B'$ הפיכות או ש $A'$ או $B'$ מדרגה קטנה שווה ל $n-2$ .

בכל מקרה לפי מקרה1 ומקרה 2 נסיק כי $adj(A'B')=adj(B')adj(A')$ . סיום ההוכחה נובע מכך ש:

$M_{i,j}(A'B')=M_{i,j}(AB)$
$R_{j}(adj(B'))C_i(adj(A'))=R_{j}(adj(B))C_i(adj(A))$

ולכן המיקום $j,i$ שווה בשני האגפים.

תרגיל

תהי $A\in \mathbb{Q}^{n\times n}$ ונתון שהיא הפיכה ב $\mathbb{R}^{n\times n}$ (כלומר שיש מטריצה ממשית $B$ כך ש $AB=BA=I$ ). הוכיחו כי היא הפיכה ב $\mathbb{Q}^{n\times n}$ .

פתרון: מכיוון שמטריצה הפיכה היא יחידה, לא יתכן שב $\mathbb{Q}^{n\times n}$ יש מטריצה הופכית אחרת. כך שבעצם יש להראות ש $A^{-1}$ הממשית היא בעצם עם איברים ב $\mathbb{Q}$ .

לפי המשפט $A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}$ . $|A|\in \mathbb{Q}$ כי הדטרמיננטה זה סכומים של מכפלות של איברי $A$ שהם רציונליים. $adjA\in \mathbb{Q}^{n\times n}$ כי האיברים הם $(-1)^{i+j}|M_{ji}|$ שהם גם רציונלים (כמו קודם). סה"כ קיבלנו $A^{-1}\in \mathbb{Q}^{n\times n}$ .

פתרון בלי לערב adj סתם: נתון ש- $|A|\neq 0$ וכיון ש- $|A|\in \mathbb{Q}$ (דטרמיננטה מתקבלת ממכפלות של איברי המטריצה (עד כדי מינוס אחד) שהינם רציונאליים) אז היא הפיכה גם מעל הרציונאליים.