הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא מסויים/דוגמאות"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) (←9) |
||
(6 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 3: | שורה 3: | ||
==2== | ==2== | ||
− | + | <math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-4x-5}}</math> | |
− | <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^ | + | |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
שורה 109: | שורה 108: | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | + | נעזר באינטגרציה בחלקים. | |
− | <math>\int\frac{\arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int\arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix}du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\ v=\arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^ | + | <math>\int\frac{\arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int\arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix}du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\ v=\arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx\end{Bmatrix}=-e^{-x}\arctan(e^x)+\int\frac{dx}{1+e^{2x}}</math> |
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר: | פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר: | ||
שורה 120: | שורה 119: | ||
לבסוף: | לבסוף: | ||
− | <math>\int\frac{\arctan(e^x)}{e^x}dx=\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}\right)-e^{-x}\arctan(e^x)</math> | + | <math>\int\frac{\arctan(e^x)}{e^x}dx=\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}\right)-e^{-x}\arctan(e^x)+C</math> |
==7== | ==7== | ||
שורה 139: | שורה 138: | ||
לבסוף (אחרי פענוח): | לבסוף (אחרי פענוח): | ||
− | <math>\int\frac{\sqrt{x^2-16}}{x}dx=\sqrt{x^2-16}-4\arccos\left(\frac{4}{|x|}\right)</math> | + | <math>\int\frac{\sqrt{x^2-16}}{x}dx=\sqrt{x^2-16}-4\arccos\left(\frac{4}{|x|}\right)+C</math> |
==8== | ==8== | ||
− | |||
אחד קליל מהחוברת של בועז (:, | אחד קליל מהחוברת של בועז (:, | ||
− | <math>\int \frac{ | + | <math>\int\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx</math> |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
+ | נעזר באינטגרציה בחלקים: | ||
− | <math>\ | + | <math>\begin{Bmatrix}u=-\ln(x)\\dv=\frac{1}{x}\end{Bmatrix}\qquad\int\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx={\color{blue}-\int\frac{\ln(x)}{x}dx=-\ln(x)^2+\int\frac{\ln(x)}{x}dx}</math> |
− | + | קיבלנו: | |
− | <math>\int \frac{ | + | <math>-2\int\frac{\ln(x)}{x}dx=-\ln(x)^2</math> |
− | + | לבסוף: | |
− | + | <math>\int\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx=-\frac{\ln(x)^2}{2}+C</math> | |
− | <math>\int \frac{ | + | ==9== |
+ | <math>\int\frac{\arcsin(x)}{x^2}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ===פתרון=== | ||
+ | ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר: <math>v=\arcsin(x)\ ,\ du=\dfrac{dx}{x^2}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{\arcsin(x)}{x^2}dx=-\frac{\arcsin(x)}{x}+\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}</math> | ||
כעת נחשב את האינטגרל השני שקיבלנו: | כעת נחשב את האינטגרל השני שקיבלנו: | ||
− | <math>\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^ | + | <math>\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}=\begin{Bmatrix}x=\cos(u)\\dx=\sin(u)du\end{Bmatrix}=\int\dfrac{\sin(u)}{\cos(u)\sqrt{1-\cos^2(u)}}du=\int \frac{du}{\cos(u)}</math> |
− | x= | + | |
− | dx= | + | |
− | \end{Bmatrix}= | + | |
− | \int \ | + | |
וכעת ניעזר בהצבה האוניברסלית כדי למצוא את האינטגרל החדש: | וכעת ניעזר בהצבה האוניברסלית כדי למצוא את האינטגרל החדש: | ||
− | <math>\int \frac{du}{ | + | <math>\begin{align}\int\frac{du}{\cos(u)}&=\int\frac{2}{1+t^2}\cdot\frac{1+t^2}{1-t^2}dt=\int\frac{2dt}{(1+t)(1-t)}=\int\frac{dt}{1-t}+\frac{dt}{1+t}\\&=\ln\big(|1+t|\big)-\ln\big(|1-t|\big)+C=\ln\left(\left|\frac{1+t}{1-t}\right|\right)+C\end{align}</math> |
כרגיל להחזיר ולהנות (: | כרגיל להחזיר ולהנות (: | ||
שורה 180: | שורה 181: | ||
<math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx</math> | <math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx</math> | ||
− | + | נציב <math>x=a\sin(u)\ ,\ dx=a\cos(u)du</math> | |
+ | |||
+ | |||
+ | <math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx=\int a^2\sin^2(u)\sqrt{a^2-a^2\sin^2(u)}a\cos(u)du=a^4\int\big(\sin(u)\cos(u)\big)^2du</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>=\dfrac{a^4}{4}\int\sin^2(2u)du=\dfrac{a^4}{4}\int\frac{1-\cos(4u)}{2}du=\dfrac{a^4}{8}\left(\int du-\int\cos(4u)du\right)=\dfrac{a^4}{8}\left(u-\dfrac{\sin(4u)}{4}\right)+C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>=\dfrac{a^4\big(u-\sin(u)\cos(u)\cos(2u)\big)}{8}+C</math> | ||
+ | |||
+ | מההצבה הראשונית מתקבל: | ||
+ | |||
+ | <math>x=a\sin(u)\Rightarrow u=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)</math> | ||
+ | |||
+ | לבסוף: | ||
+ | |||
+ | <math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx=\dfrac{a^4\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+x(2x^2-a^2)\sqrt{a^2-x^2}}{8}+C</math> | ||
==11== | ==11== | ||
<math>\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx</math> | <math>\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx</math> | ||
− | הצבה היפרבולית <math>x= | + | הצבה היפרבולית <math>x=a\sinh(u)\ ,\ dx=a\cosh(u)du</math> |
[http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function נוסחאות לפונקציות היפרבוליות] | [http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function נוסחאות לפונקציות היפרבוליות] | ||
==12== | ==12== | ||
− | <math>\int \frac{ | + | <math>\int\frac{\sin(x)\cos(x)}{\sqrt{a\sin^2(x)+b\cos^2(x)}}dx</math> |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
+ | <math>\int\frac{\sin(x)\cos(x)}{\sqrt{a\sin^2(x)+b\cos^2(x)}}dx=\int\frac{\sin(x)\cos(x)}{\sqrt{(a-b)\sin^2(x)+b}}dx=\begin{Bmatrix}t=\sin(x)\\dt=\cos(x)dx\end{Bmatrix}=\int\frac{t}{\sqrt{(a-b)t^2+b}}dt=\begin{Bmatrix}u=(a-b)t^{2}+b\\ du=2(a-b)tdt\end{Bmatrix}=</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <math>\frac{1}{2a-2b}\int\frac{du}{\sqrt u}=\frac{\sqrt u}{a-b}+C=\frac{\sqrt{(a-b)t^2+b}}{a-b}+C=\frac{\sqrt{(a-b)\sin^2(x)+b}}{a-b}+C</math> | |
− | <math>\frac{1}{2a-2b}\int\frac{du}{\sqrt | + | |
===פתרון (יותר מוצלח כמסתבר)=== | ===פתרון (יותר מוצלח כמסתבר)=== | ||
− | + | להציב <math>t=a\sin^2(x)+b\cos^2(x)</math> | |
− | להציב <math>t= | + | |
==13== | ==13== | ||
− | <math>\int \sqrt {\tan ^2(x)+2} dx </math> | + | <math>\int\sqrt{\tan^2(x)+2}dx</math> |
===פתרון (לא מלא)=== | ===פתרון (לא מלא)=== | ||
שורה 217: | שורה 226: | ||
זה לקח לי שני עמודים בכתב יד, זה נורא (אני בטוח שיש פתרון יותר חכם) | זה לקח לי שני עמודים בכתב יד, זה נורא (אני בטוח שיש פתרון יותר חכם) | ||
− | '''הצבה 1:''' <math>t= | + | '''הצבה 1:''' <math>t=\tan(x)</math> |
− | '''הצבה 2:''' <math>t=\ | + | '''הצבה 2:''' <math>t=\sqrt2\sinh(u)</math> |
שורה 229: | שורה 238: | ||
− | מכאן זו פונקציה רצינואלית של | + | מכאן זו פונקציה רצינואלית של לינארי חלקי פולינום ממעלה 2, זה לא בעיה בהשוואה למה שהלך למעלה. |
במקרה הכי גרוע, תהיה הצבה 4. | במקרה הכי גרוע, תהיה הצבה 4. | ||
==14== | ==14== | ||
− | <math>\int \frac{ | + | <math>\int\frac{dx}{\sqrt[4]{\sin^3(x)\cos^5(x)}}</math> |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
+ | <math>\int\frac{dx}{\sqrt[4]{\sin^3(x)\cos^5(x)}}=\int\frac{dx}{\cos(x)\sqrt{\sin(x)}\sqrt[4]{\sin(x)\cos(x)}}=\int\frac{\sqrt{\sin(x)}}{\cos(x)\sin(x)\sqrt[4]{\sin(x)\cos(x)}}dx</math> | ||
+ | <math>=2\int\frac{\sqrt[4]{\sin^2(x)}}{\sin(2x)\sqrt[4]{\sin(x)\cos(x)}}dx=2\int\frac{\sqrt[4]{\tan(x)}}{\sin(2x)}dx</math> | ||
− | <math> | + | כעת נציב: <math>t^4=\tan(x)</math> |
− | + | ||
− | + | <math>2\int\frac{\sqrt[4]{\tan(x)}}{\sin(2x)}dx=2\int\frac{t}{\frac{2t^4}{t^8+1}}\cdot\frac{4t^3}{(t^8+1)}dt=2\int\frac{4t^4}{2t^4}dt=4\int dt=4\sqrt[4]{\tan(x)}+C</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | <math>2\int \frac{\sqrt[4]{ | + | |
==15== | ==15== | ||
− | <math>\int \frac{ln(x)-1}{ln(x)^2} dx</math> | + | <math>\int\frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}dx</math> |
+ | |||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
(קרדיט מלא לסורקין) תוקן! סורקין לא סרוקין ולא צריך קרדיט... | (קרדיט מלא לסורקין) תוקן! סורקין לא סרוקין ולא צריך קרדיט... | ||
− | <math>\int \frac {ln(x)-1}{ln(x)^2} dx=\int \frac {ln(x)}{ln(x)^2} dx - \int \frac { | + | <math>\int\frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}dx=\int\frac{\ln(x)}{\ln(x)^2}dx-\int\frac{dx}{\ln(x)^2}=\int\frac{dx}{\ln(x)}-\int\frac{dx}{\ln(x)^2}</math> |
כעת נתמקד באינטגרל הראשון, נפעיל אינטגרציה בחלקים: | כעת נתמקד באינטגרל הראשון, נפעיל אינטגרציה בחלקים: | ||
− | <math>\int \frac{dx}{ | + | <math>\int\frac{dx}{\ln(x)}=\begin{Bmatrix}u=x&du=dx\\v=\frac{1}{\ln(x)}&dv=-\frac{dx}{x\ln(x)^2}\end{Bmatrix}=\frac{x}{\ln(x)}+\int\frac{dx}{\ln(x)^2}</math> |
− | u=x &du=dx \\ | + | |
− | v=\frac{1}{ | + | |
− | \end{Bmatrix}=\frac{x}{ | + | |
− | </math> | + | |
ונשים לב כי מתקיים (באופן די מגניב): | ונשים לב כי מתקיים (באופן די מגניב): | ||
− | <math>\int \frac{ | + | <math>\int\frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}dx={\color{blue}\int\frac{dx}{\ln(x)}}-\int\frac{dx}{\ln(x)^2}={\color{blue}\frac{x}{\ln(x)}+\int\frac{dx}{\ln(x)^2}}-\int\frac{dx}{\ln(x)^2}</math> |
+ | |||
+ | לבסוף: | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}dx=\frac{x}{\ln(x)}+C</math> | ||
==16== | ==16== |
גרסה אחרונה מ־22:41, 10 בינואר 2017
תוכן עניינים
1
2
פתרון
- השלמה לריבוע והצבה ראשונה
הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:
ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: , וכמובן קל להבין כי .
- פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה)
ניעזר בתכונות של ושל :
וכן בזהות:
- הצבה שניה
נציב:
ולהחזיר את t ל-x, אני משאיר לכם (:
3
האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)
פתרון
- יש טעות בהצבה של , שכן
- אבל צריך לקחת בחשבון גם את ה-dt
- צודק. נראה לי שאם אני לא ראיתי את זה, גם אחרים לא יראו ;)
- אבל צריך לקחת בחשבון גם את ה-dt
4
בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)
דרך א'
א. ניתן להשתמש בהצבת אוילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.
הצבה ראשונה:
הצבה שניה:
ואם נחזור לחישוב האינטגרל,
ומכאן מעבירים את t ל-x.
דרך ב'
ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:
כעת נוכל להבחין כי מתקיים:
כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב:
אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:
וסיימנו (:
5
אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב)
כאשר .
פתרון
הכוונה היא עבור , עבור תסתכלו בדוגמא הראשונה.
6
פתרון
נעזר באינטגרציה בחלקים.
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:
לבסוף:
7
פתרון
נעשה את ההצבה הבאה:
מההצבה הראשונית מתקבל:
לבסוף (אחרי פענוח):
8
אחד קליל מהחוברת של בועז (:,
פתרון
נעזר באינטגרציה בחלקים:
קיבלנו:
לבסוף:
9
פתרון
ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר:
כעת נחשב את האינטגרל השני שקיבלנו:
וכעת ניעזר בהצבה האוניברסלית כדי למצוא את האינטגרל החדש:
כרגיל להחזיר ולהנות (:
10
נציב
מההצבה הראשונית מתקבל:
לבסוף:
11
הצבה היפרבולית
12
פתרון
פתרון (יותר מוצלח כמסתבר)
להציב
13
פתרון (לא מלא)
זה לקח לי שני עמודים בכתב יד, זה נורא (אני בטוח שיש פתרון יותר חכם)
הצבה 1:
הצבה 2:
אח"כ צריך לשחק עם מה שמקבלים (לפי תכונות של קוסינוס וסינוס היפרבולי), ואז להעביר את זה לייצוג המקורי.
ואז, הצבה 3:
מכאן זו פונקציה רצינואלית של לינארי חלקי פולינום ממעלה 2, זה לא בעיה בהשוואה למה שהלך למעלה.
במקרה הכי גרוע, תהיה הצבה 4.
14
פתרון
כעת נציב:
15
פתרון
(קרדיט מלא לסורקין) תוקן! סורקין לא סרוקין ולא צריך קרדיט...
כעת נתמקד באינטגרל הראשון, נפעיל אינטגרציה בחלקים:
ונשים לב כי מתקיים (באופן די מגניב):
לבסוף:
16
פתרון
הצבה
לאחר מכן הצבה טריגונומטרית
ולאחר מכן ההצבה האוניברסאלית של טאנגנס חצי זוית
17
אם הינו אי זוגי, אזי:
נבצע את ההצבה לקבל
וזה פתיר וקל.
כעת, נניח כי זוגי:
וזו בעייה במעלה נמוכה יותר של אינטגרל על קוסינוס
אם k אי זוגי אז פותרים באופן דומה להתחלה, ואם לא שוב מקטינים את החזקה על ידי זהות זוית כפולה של קוסינוס.