הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לייבניץ"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
Avraham816 (שיחה | תרומות) (←משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים) |
||
שורה 3: | שורה 3: | ||
*הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n</math> מתכנס | *הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n</math> מתכנס | ||
− | *השארית <math>R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le a_{k+1}</math> | + | *השארית <math>R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le |a_{k+1}|</math> |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== |
גרסה אחרונה מ־17:51, 9 ביולי 2022
משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים
תהי סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
- הטור מתכנס
- השארית מקיימת
הוכחה
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
יהי , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- .
נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
לכן
כלומר
וכן הלאה עד שנקבל
וכיון ש- שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- (ללא תלות ב- ).
לפי טיעון דומה, ולכן
כפי שרצינו.