הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"
(←נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה) |
(←נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת) |
||
(גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
שורה 61: | שורה 61: | ||
− | + | נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל <math>\epsilon>-1</math> מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>. | |
− | :<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1} | + | |
+ | לכן | ||
+ | :<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math> | ||
+ | |||
− | |||
לכן מספיק להוכיח כי | לכן מספיק להוכיח כי | ||
שורה 70: | שורה 72: | ||
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד: | אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד: | ||
:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math> | :<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math> | ||
− | |||
===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה=== | ===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה=== | ||
שורה 120: | שורה 121: | ||
לכן הגבול הנו: | לכן הגבול הנו: | ||
− | :<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math> | + | :<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e</math> |
גרסה אחרונה מ־08:14, 5 בנובמבר 2018
תוכן עניינים
המספר e
לסדרה יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול . אזי
תרגיל.
חשב את גבול הסדרה
- פתרון
נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
כיון ש- אנו מקבלים כי
תכונות
הסדרה מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי מתקיים כי:
- הוכחה
נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.
מובן מאליו כי
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
כמו כן:
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת
נסמן
רוצים להוכיח
כלומר
נפתח את אי-השוויון:
נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל מתקיים .
לכן
לכן מספיק להוכיח כי
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה
נסמן
רוצים להוכיח
כלומר רוצים להוכיח כי
צריך להוכיח
כעת
שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל ולכל n מתקיים
ולבסוף
דוגמאות
תרגיל.
מצא את גבול הסדרה
לכן לפי משפט אם אזי גם .
לכן הגבול הנו: