הבדלים בין גרסאות בדף "חוג ריבועי"
(←חישוב חוגי מנה) |
|||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 10: | שורה 10: | ||
נחשב את המנה <math>\ \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-11}}{2}]/\langle \frac{13+7\sqrt{-11}}{2}\rangle</math>. כאן חשוב עוד יותר להחליף שמות ולסמן <math>\ x = \frac{1+\sqrt{-11}}{2}</math>, כאשר <math>\ x^2-x+3=0</math>. מכיוון ש-<math>\ \frac{13+7\sqrt{-11}}{2} = 3+7x</math>, אנחנו מחשבים את המנה | נחשב את המנה <math>\ \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-11}}{2}]/\langle \frac{13+7\sqrt{-11}}{2}\rangle</math>. כאן חשוב עוד יותר להחליף שמות ולסמן <math>\ x = \frac{1+\sqrt{-11}}{2}</math>, כאשר <math>\ x^2-x+3=0</math>. מכיוון ש-<math>\ \frac{13+7\sqrt{-11}}{2} = 3+7x</math>, אנחנו מחשבים את המנה | ||
− | <math>\ \mathbb{Z}[x]/\langle x^2-x+3 | + | <math>\ \mathbb{Z}[x]/\langle x^2-x+3, \ 3+7x\rangle</math>. הנורמה של 3+7x היא 177=3*59, ומכיוון שהנורמה היא (כמובן) כפולה של 3+7x, האידיאל מכיל את 177. זה אומר שהמנה שווה ל-<math>\ \mathbb{Z}_{177}[x]/\langle x^2-x+3,\ 3+7x\rangle</math>! בחוג הזה 7 הוא הפיך, ואפשר לפתור את המשוואה: <math>\ 0 \equiv 76(3+7x) = 51+x</math>, כלומר x=-51. הצבת ערך זה מאפסת (שלא במפתיע) את התנאי הריבועי, ולכן חוג המנה הוא <math>\ \mathbb{Z}_{177} \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_{59}</math>. |
גרסה אחרונה מ־08:32, 4 ביולי 2019
חוג ריבועי הוא חוג שבו כל איבר מקיים משוואה ממעלה שניה מעל השלמים.
עבור שלם D חופשי מריבועים (כלומר שאין לו מחלק ריבועי), נסמן . החוג הוא "הסגור השלם" של חוג השלמים בשדה . כל תחום שלמות ריבועי הוא תת-חוג של חוג מהצורה הזו.
תחומי שלמות ריבועיים הם "מעבדה" לבחינת מושגי היסוד של תחומי שלמות: איברים ראשוניים ואי-פריקים, פריקות יחידה ואידיאלים ראשיים, אוקלידיות וכדומה. חלק מהמושגים האלה דורשים חישוב של חוגי מנה. נדגים זאת בכמה מקרים.
חישוב חוגי מנה
נחשב את . כדי לוודא שלא תשתחל פנימה טעות בסימן של השורש, נחליף אותו בשם משתנה ונכתוב את החוג המקורי כמנה , ואת חוג המנה המבוקש כמנה . מכיוון שבחוג המנה הזה t=4, מתברר ש-, כלומר המנה היא .
נחשב את המנה . כאן חשוב עוד יותר להחליף שמות ולסמן , כאשר . מכיוון ש-, אנחנו מחשבים את המנה . הנורמה של 3+7x היא 177=3*59, ומכיוון שהנורמה היא (כמובן) כפולה של 3+7x, האידיאל מכיל את 177. זה אומר שהמנה שווה ל-! בחוג הזה 7 הוא הפיך, ואפשר לפתור את המשוואה: , כלומר x=-51. הצבת ערך זה מאפסת (שלא במפתיע) את התנאי הריבועי, ולכן חוג המנה הוא .