גרסה מ־21:03, 22 בדצמבר 2009 (הצגת מקור) 84.108.149.116 (שיחה) (←‏שאלה) → מעבר להשוואת הגרסאות הקודמת		גרסה אחרונה מ־17:16, 2 במאי 2010 (הצגת מקור) ארז שיינר (שיחה | תרומות) (←‏פתיחת מחברות)
(645 גרסאות ביניים של יותר מ־100 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1:		שורה 1:
−	:::<math>	+	::<math>
	\begin{bmatrix}		\begin{bmatrix}
	\lambda & 0 & 0 \\		\lambda & 0 & 0 \\
שורה 18:		שורה 18:
	'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]''' - שאלות על תרגילים 1-4		'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]''' - שאלות על תרגילים 1-4
−	= שאלות =	+	'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]''' - שאלות על תרגילים 5-8
−	==שאלה בקשר לנורמות==	+	'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 3|ארכיון 3]]''' - שאלות על תרגילים 10-11
−	כשעברתי על הקלסר ראיתי שצבאן כתבנו לנו תרגיל אתגר: להוכיח שלכל נורמה,<math> ||u+v||= ||u||+ ||v|| </math> אם ורק אם <math>u,v</math> תלויים לינארית.	+	'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 4|ארכיון 4]]''' - שאלות על תרגיל 12 והמבחן
−	לא הצלחתי להוכיח ואפילו מצאתי דוגמה נגדית -	+
−	אם <math>u=(1,1),v=(-2,-2)</math> אז ברור ש-<math>u,v</math> ת"ל (מעל R) אבל ההשוויון לא מתקיים  (מעל הנורמה המושרית) כי <math>||v||=sqrt{8}, ||u||=sqrt{2}, ||u+v||= ||(-1,-1)||=sqrt{2}</math>	+
−	אז רציתי לדעת מתי זה נכון (ואם יש לי טעות איפשהו...)	+
−	==שאלה בקשר לבוחן==	+	'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 5|ארכיון 5]]''' - שאלות על המבחן
−	היי ארז. אתה יכול בבקשה להעלות רשימה מדוייקת של הנושאים שיש לבוחן? ואתה יכול בבקשה להעלות גם תרגילי הכנה?	+
−	תודה.	+
−	==שאלה חשובה לדוגמא ==	+
−		+
−	מה זה Span?	+
−		+
−	===תשובה ===	+
−		+
−	אוסף כל הצירופים הלינאריים	+
−		+
−	--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:07, 22 באוקטובר 2009 (UTC)	+
−		+
−	:הבנתי, תודה.	+
−		+
−	::בשמחה	+
−		+
−	:::יותר קונסטרוקטיבי לחשוב על זה כ"המרחב הנפרש", התת-מרחב הקטן ביותר שמכיל את הקבוצה הנתונה.	+
−	==שאלה לארז==	+	'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 6|ארכיון 6]]''' - שאלות על המבחן
−		+
−	האם קיימת אפשרות לשמור את כל התוכן של דף זה בדף אחר (שאלות ותשובות 1 - תרגילים 1-4, למשל..), ולמחוק את כל מה שיש כרגע פרט לשאלות שרלוונטיות לתרגיל ולחומר של השבוע, במטרה להקל על הצפייה והטעינה?	+
−	===תשובה===	+	= שאלות =
−	כן, אני אעשה את זה. אני מבקש לא למחוק שום דבר שנרשם אף פעם משום סיבה, אלא אם אתם בעצמכם כתבתם את זה.	+	==פתיחת מחברות==
		+	מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?
−	==תרגיל 1.4==	+	:תשאלו את המרצים
−	בסעיפים ב' וג' יש הפניה לשאלה 1.1, ואני לא ממש מצליחה למצוא ת'קשר...	+	==מבחן מועד א'==
−	יש בעיה עם ההבנה שלי או עם הספר??	+	העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו.
		+	אתם יכולים להעלות את המבחן?
		+	תודה.
	===תשובה===		===תשובה===
−	הכוונה לשאלה 1.3 לשני הסעיפים	+	תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו
−	:העתקתי את השאלה מהארכיון כיון שהיא קשורה לתרגיל של השבוע הזה.	+
−	==תרגיל 1.9==	+	==פתיחת מחברות==
−	האם  שתי המכפלות הן אותן מכפלות? (בסעיף א'..) או שבג' מתעלמים מסעיף א'? כלומר הנתון היחיד שלי זה 2 התכונות בסעיף ב' ואני צריכה להוכיח שהמכפלה שמוגדרת בסעיף ג' היא למעשה לא מכפלה פנימית?	+	מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?
−	===תשובה===	+	==פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים==
−	בסעיף א' נאמר שכל מכפלה פנימית מקיימת את התכונה <math><v,u>=vAu^*</math>. בסעיף ג', צריך להראות שיש מטריצות שעונות על התכונות בסעיף ב' אך עדיין אין מכפלה פנימית שיוצרת אותן כמו בסעיף א'. אם הייתה מכפלה כזו, אז היא הייתה מקיימת את השיוויון <math><v,u>=vAu^*</math>, ולכן הפונקציה הזו הייתה אכן מכפלה פנימית.	+	תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת
		+	איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות.
		+	זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.
		+	,תודה רבה.
−	== שאלה ==	+	:פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.
−		+
−	יש להביא דוגמא נגדית ב 1.5?	+
		+	==ציוני מבחן==
		+	מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?
	===תשובה===		===תשובה===
−	יש להראות שאחד מחוקי המכפלה הפנימית לא מתקיים. אפשר לעשות את זה על ידי דוגמא נגדית לחוק שלא מתקיים בעזרת מספרים מרוכבים	+	הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא
−	==שאלה==	+	==מקום הפרסום==
−	ארז - האם קיים חוק שאומר : לכל v שונה מאפס מתקיים ש:	+	היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט?
−	<v,v> גדול מאפס? (גדול ממש)	+	ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!
−	===תשובה===
−	כן, חוק אי שליליות אומר ש <math><v,v> \geq 0</math> ושיוויון מתקיים <math> v=0 \iff</math>. במילים אחרות, אם <math>v\neq 0</math> אזי <math><v,v> > 0</math> ממש
−	==שאלה==
−	האם מותר לי להשתמש בשעורי הבית בכל המשפטים שנלמדו בהרצאה? (בהנחה שלא מבקשים להוכיח אותם)
	===תשובה===		===תשובה===
−	עקרונית כן, אבל זו שאלה דיי כללית	+	אני לא יודע, אני אודיע כשאדע
−	==שאלה 4.12.0.5==	+	== שאלה ==
−	האם מתכוונים בשאלה להוכחה רק לגבי המכפלה הפניימית הסטנדרטית או לכל מכפלה פנימית?	+
−	===תשובה===	+	אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??
−	המכפלה הפנימית הסטנדרטית, אבל שים לב שזו הסטנדרטית מעל <math>\mathbb{C}</math>, כלומר <math><(z_1,...,z_n),(w_1,...,w_n)> = z_1\overline{w_1}+...+z_n\overline{w_n}</math>	+
−	:בסדר אבל אני לא מתייחס כל כך בהוכחה שזה C כי זה נכון גם ל C  וגם לr ההוכחה שלי	+
−	::<math> A^* = \overline{A^t}</math>, איך אפשר לא להתייחס למרוכבים כשמדובר על הצמדה?	+
−		+
−	==לארז - בקשר לשאלת הבונוס שנתת בכיתה==	+
−	כל הדרך הביתה ישבתי על ההוכחה, אח"כ ישבתי כמעט כל הלילה בשביל הבונוס הזה. בסה"כ ישנתי קצת פחות מ-4 שעות. האם אתה יכול לומר לנו סוף סוף אם מישהו הצליח להוכיח, אם קבלת, ואם מישהו כבר קבלת את הבונוס?	+
−	===תשובה===	+
−	יש כבר פותרים, אני אפרסם את הפתרונות בקרוב, אני עוד עובר על הוכחות.	+
−		+
−	==שאלה 5.7==	+
−	ניסיתי לחלק ל-3 מקרים אבל לא ממש יצא לי.. אפשר איזשהו רמז?	+
−		+
−	===תשובה===	+
−	אילו מקרים? מה התנאי למרחב ניצב? תבדוק אותו מפורשות	+
	==שאלה==		==שאלה==
−	האם מותר בשאלה זו (5.7) להשלים את הקבוצה S לבסיס אורתונורמלי, לפי המשפט שאומר שכל קבוצה אורתונורמלית ניתנת להשלמה לבסיס אורתונורמלי?
−	===תשובה===	+	אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?
−	זה מותר ונכון אבל אין צורך בזה, התשובה פשוטה יותר. כמו שרשמתי למעלה, צריך לבדוק את התנאי לניצבות, וזו תשובה של שתי שורות.	+
−	===בתגובה לתשובה===	+
−	תודה רבה. לא הצלחתי לעלות על התשובה, אז ספקתי תשובה די ארוכה של עמוד שלם של הוכחה, למרות שהוכחה הייתה מאוד קלה.	+
−		+
−		+
−	==שאלה - 5.10 ==	+
−	האם קיימת סיבה לכך שההדרכה אומרת לבחור בסיס, ורק אח"כ לבצע גרם-שמידט? האם לא יכלנו לבחור מראש בסיס אורתונורמלי?	+
−	דבר נוסף, רק לשם בדיקה: האם גם לכם ייצא שהמכפלה הפנימית: <v,w> שווה לאלפא-i בריבוע?	+
	===תשובה===		===תשובה===
−	אתה צודק אפשר לקחת ישר בסיס אורתונורמלי, אבל חשוב מאד לקחת בסיס לU ולהשלים אותו להיות בסיס למרחב כולו.	+	כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.
−	==שאלה 5.14==	+	== הוכח\הפרך ==
−	איך מוצאים בסיס ומימד למרחב הניצב רק ע"י span של המרחב?	+
		+	שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?-
		+	תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-<math>degA=2 <= rkA=1(</math>
	===תשובה===		===תשובה===
−	אם וקטור הוא אורתוגונלי לבסיס של הspan, מה המכפלה הפנימית שלו עם שאר איברי הspan?	+	אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה
		+	:גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).
−	ושאלה נוספת, למה שווה הסכום <math>W+W^\perp</math>?	+	'''תשובה:''' (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל
		+	(סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)
−	--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:45, 26 בנובמבר 2009 (UTC)	+	== שאלה ==
−	:אני יכולה בעצם לומר: כדי שוקטור יהיה בW+, הוא צריך לקיים שהמכפלה הפנימית שלו עם 2 הוקטורים הנתונים הם 0.. ואז להגדיר V =(x,y,z) ולמצוא לאיזה ערכים של x,y,z שמובעים לדוגמה באמצעות Z זה מתקיים? ומשם גם להוציא את הבסיס..?	+	אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה:
		+	ככה: T נורמלי הוכח ש- <math>im(T)=im(T^*)</math>
−	::כן. וההסבר לכך הוא מה שרשמתי למעלה (זה לגבי מציאת הבסיס, ולא לגבי המימד. את המימד ניתן לומר מיד).
−	==שאלת בונוס==	+	===הוכחה===
−	לגבי ההוכחה הראשונה שניתנה.. למה מותר להניח שבפולינום האופייני של A^2 - המעלה הגבוהה ביותר של (x-alpha)לע"ע alpha כלשהו היא 1?	+	דבר ראשון נוכיח ש<math>ker(T)=ker(T^*)</math>. נניח <math>v \in kerT</math> לכן <math>Tv=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0</math> אבל <math>T^*T=TT^*</math> ולכן <math>\forall u: <TT^*v,u>=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*v,T^*u>=0</math> ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <math><T^*v,T^*v>=0</math> ולכן <math>T^*v=0</math> כלומר <math>v \in ker T^*</math>. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.
−	===תשובה===
−	<math>A^2</math> לכסינה. לפי התיקון השני לתרגיל, הפולינום האופייני שלה מכיל גורמים לינאריים בלבד. (אחרת היה בלוק ז'ורדן בגודל גדול מ1 ואז צורת הז'ורדן לא הייתה אלכסונית).
−	:נכון, אבל למה זה אומר שלא יכול להיות (x-alpha)^3 למשל..? זה מתפרק ל(x-alpha)(x-alpha)(x-alpha(	+	עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u: <Tv,u>=0</math> אם"ם <math>\forall u: <v,T^*u>=0</math> אם"ם <math>v \in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT = (ImT^*)^\bot</math>. בצורה דומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).
−	::עשיתי שני בלבולים:	+	==השלמה לבסיס==
−	* מדובר על הפולינום המינימלי ולא האופייני של <math>A^2</math>	+	האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור <math>v_1</math> לבסיס עבור <math>F^n</math> .
−	* התיקון השני אמר שהחזקה של הגורמים הלינאריים בפולינום המינימלי חייבת להיות אחד. הסיבה לפי צורת ז'ורדן היא כפי שרשמתי למעלה, כי גודל הבלוק המקסימלי הוא בגודל חזקת הגורם הלינארי בפולינום המינימלי.	+	למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?
−		+
−	==אי שיוויון בסל==	+
−	ניסיתי להוכיח בבית ששיוויון מתקיים אם ורק אם v שייך לspan{v1,..vk} אבל הצלחתי להוכיח רק את הכיוון <==. אפשר רעיון לכיוון השני?	+
	===תשובה===		===תשובה===
−	ההוכחה צריך להיות דו כיוונית בעיקרון. משלימים את הקבוצה האורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי, ואז לכל וקטור יש הצגה יחידה לפי הבסיס הזה. מפרקים את המכפלות הפנימיות של הוקטור לפי חוקי הלינאריות ומקבלים את תנאי שיוויון פרסבל (זה השיוויון באי שיוויון בסל).	+	זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.
−		+
−	==בנוגע לתרגיל הנוסף==	+
−	בתרגיל הנוסף יש כמות נכבדת של אינטגרלים שצריך לחשב. האם מותר לבצע את תהליך האינטגרצייה במחשבון, מבלי לנמק?	+
−	וזה רק אני, או שהוקטורים שמתקבלים ממש לא יפים?	+
−	:זה אשכרה התעללות, הוקטורים שיוצאים אחרי הג"ש ממש, ממש לא נוחים לחישוב..	+
−	::חישוב במחשבון הוא בסדר, המטרה היא לא לראות שאתם יודעים אינטגרלים (אפשר לעשות חישוב שניים והשאר במחשבון). דבר שני, היה צריך לזכור שכל החזקות האי זוגיות אוטומטית נמחקות, ושלישית למדנו בגרם שמידט שאפשר לשמור על מספרים יפים ורק בסוף לחלק בנורמה. לכן אין צורך להסחב עם מספרים לא יפים, הכי הרבה לרשום חלקי נורמה, ורק בתשובה הסופית להציב אותה.	+
	==שאלה==		==שאלה==
−	איך אפשר להוכיח ש2 הוא החסם מילרע הגדול ביותר של הקבוצה {2x^2} כאשר x>1??	+	איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"ע אחד שהוא 0 ?
		+	בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית.
		+	אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון
		+	ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?
−	===תשובה===	+	::הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.
−	כבר אני יכול לראות מהשאלה ששכחת שהנורמה היא שורש המכפלה הפנימית של הוקטור בעצמו, כלומר <math>||v||= \sqrt{<v,v>}</math>.	+
−	שנית, אין צורך בהוכחה מלאה באינפי, אלא הסבר יספק (למצוא את המרחק עבור x=1, ולהסביר שעם x מתקרב ל1 אזי המרחק של הוקטור מתקרב למרחק עבור x=1)	+	===תשובה===
		+	תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V=
		+	אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה
−	==שאלה 2 תרגיל 7==	+	==שאלה==
−	הכוונה לנפח של הפוליטופ, לא לפוליטופ עצמו, כן?	+	איך מוכיחים את הכיוון הבא:
−	| (אדם אחר): מצטרף לשאלה, הרי שבתרגול עשינו את התרגיל על בדיוק אותו רעיון ושם היה נפח, ואיך אפשר לחשב פוליטופ? זה רק קבוצה אז אין פה תרגיל (אם זה לא נפח)... לכן זה חייב להיות נפח.	+	אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)
	===תשובה===		===תשובה===
−	קודם כל, פוליטופ אינו נפח. יש הגדרה לפוליטופ:	+	צריך להוכיח שאם <math>v_1,...v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1,..Tv_n</math> בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.
−	<math>P(v_1,...,v_n)=\{\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n | 0 \leq \alpha_1,...,\alpha_n \leq 1\}</math>	+	T אוניטרית ולכן <math>TT^*=T^*T=I</math>. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש:
		+	<math><Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.
−	זה קבוצה של וקטורים (אמנם לא תת מרחב). נפח הוא מספר.	+	==שאלה==
		+	א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y
−	שנית, אתם צודקים, יש טעות בתרגיל. זה צריך להיות נפח. אני אפרסם תיקון.	+	ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V>
		+	לכל V שייך ל- V.
		+	===תשובה===
		+	א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.
−	'''שאלה:'''	+	אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.
−	פוליטופ הוא קבוצה של וקטורים, זאת אומרת שאם X שייך לפוליטופ הנ"ל מלמעלה אז ניתן להציגו כצירוף לינארי של הוקטורים v1....vn עם סקלרים בין 0 ל-1? זאת אומרת X=a1v1+.....anvn ?	+
−	ופוליטופ זה קבוצה, אז איך בתרגיל 1 a יש העתקה לינארית של קבוצה?	+
−	קודם כל כן, זה נובע ישירות מההגדרה של פוליטופ שציינתי למעלה.	+	ב. זה משפט ההצגה של ריס.
−	שנית, זו לא העתקה לינראית מהקבוצה. זו העתקה לינארית מהמרחב שמכיל את הקבוצה. עכשיו אפשר להסתכל על הקבוצה של הוקטורים שמתקבלים ע"י הפעלת ההעתקה הלינארית על הפוליטופ. כלומר לקבוצה כללית <math>S \subset V</math> והעתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math> נגדיר את <math>T(S)=\{Ts \in W|s \in S\}</math>
	==שאלה==		==שאלה==
−	ארז שלום,	+	איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t
−	בתרגיל שעשית בכיתה, חישבת נפח פוליטופ בעזרת מטריצת מעבר, והבסיס שלפיו הצגת את הווקטורים הנתונים היה הבסיס הסטנדרטי.	+
−	האם זה מותר בגלל שהבסיס הסטנדרטי הוא בא"נ?	+
−	ואם כן, למה נועד תהליך גרם שמידט, למה אי אפשר פשוט תמיד לקחת את הבסיס הסטנדרטי בתור הבא"נ שלפיו אנו פועלים?	+
−	תודה.	+
−		+
	===תשובה===		===תשובה===
−	כן, היה מותר כי הבסיס הסטנדרטי הינו בא"נ.	+	בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה <math>A=PJP^{-1}</math> נשחלף לקבל ש
		+	<math>A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t</math> כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.
−	הבסיס הסטדנדרטי הוא בא"נ למרחבים המוכרים. אבל לתתי מרחבים אין בדר"כ בסיסים סטנדרטיים, ולשם כך צריך את תהליך גרם שמידט. למשל אם תיקח את המרחב הנפרש ע"י <math>\{(1,1,0),(-1,0,1)\}</math>. אין לו בסיס סטנדרטי. איך תחשב מרחק של וקטורים מתת מרחב זה?	+	החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס <math>v_3,v_2,v_1,v_5,v_4</math>.
	==שאלה==		==שאלה==
−	איך אני אמור לדעת מה המספר הרציונלי הקרוב ביותר ל-שורש 2??	+	אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?
−	קשור לשאלה מס' 3 סעיף ב	+
	===תשובה===		===תשובה===
−	בעזרת כוח המחשבה :)	+	מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות
−	זה אמנם לא קורס אינפי, אבל זו שאלה שאתם יכולים לענות עליה.	+
−	==מספר שאלות די בסיסיות בנושאים שונים==	+	==שאלה==
−	1. האם המכפלה הפנימית הסטנדרטית היא מכפלה רגילה של סקלרים, או השורש של מכפלת הסקלרים (בדומה לנורמה המושרית), כלומר האם: <(1,2),(3,7)> יהיה שווה ל- 17, או לשורש של 17?	+	הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי.
		+	האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן
		+	TT=I
		+	TT*=I
		+	ואז T=T* משמע שזה אמת
−	2. בתרגיל 1.a יצאה לי הוכחה די קצרה, של חצי עמוד שהשתמשה רק בהגדרת הפוליטופ (כלומר בטאתי את הקבוצה שנוצרת אם מפעילים עליה את ההעתקה, ולכן הסקלרים נשארים אותם סקלרים ורק הוקטורים עלולים להשתנות). האם זה בסדר?	+	===תשובה===
		+	בוודאי שההופכית יחידה...
−	3. כדי לחשב הטלה יש להשתמש בבסיס אורתונורמלי כלשהו, נכון? אבל בכיתה כשחישבת איתנו את הנפח של שלושה וקטורים לפי ההגדרה באינדוקציה רק נרמלנו את הוקטורים כדי לחשב את ההטלה. עכשיו אני מבולבל ולא יודע איך נכון לפתור את תרגיל 2.a.	+	וזו הוכחה נכונה.
−	תודה רבה!!	+	:תודה! (:
		+	== 2 שאלות==
		+	1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?
−	1. יהיה שווה 3+14	+	2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?
−	2. ההוכחה די קצרה בעזרת הכלה דו כיוונית.	+	תודה!
−	3. אם יש לך בסיס לא אורתונורמלי עליך לנרמל אותו ואז לחשב את ההטלה.
	===תשובה===		===תשובה===
−	התשובות שענו לך נכונות פרט ל3. בכיתה לא נרמלנו את הוקטורים בלבד אלא ביצענו תהליך גרם שמידט מלא. את הוקטור הראשון נרמלנו בלבד, כי ככה עובד תהליך גרם שמידט. בכיתה נתתי נוסחא להטלה על מרחב לפי בא"נ, ולכן יש לבצע תהליך גרם שמידט על מנת שיהיה בא"נ. (לא מספיק רק לנרמל את הבסיס, צריך להפוך אותו לאורתונורמלי)	+	1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).
−	:אז בעצם בשביל לחשב את ההטלות צריך לבצע תהליך גרם שמידט על ארבעת הוקטורים בתרגיל 2?	+	לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.
−	::כן, כפי שעשינו בשיעור. שים לב שלא בכל הטלה צריך את 4 הוקטורים. כל פעם מטילים וקטור אחד על קודמיו. את המרחק צריך לחשב בין הוקטור הנתון לבין התת מרחב הנפרש ע"י קודמיו. את הבסיס של התת מרחב הזה אפשר להחליף לבא"נ בעזרת תהליך גרם שמידט	+	זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.
−	מישהו אחר- למה צריך הכלה דו כיוונית ולא פשוט שוויון ב2 a?	+	2. צ"ל להוכיח שהנוסחא <math>w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k</math> נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל<math>w_1,...,w_{i-1}</math>. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <math><w_i,w_j>=0</math> לכל <math>j<i</math>. אבל לפי ההנחה, הוקטורים <math>w_1,...,w_{i-1}</math> מאונכים זה לזה,  ולכן המכפלה יוצאת
−	:מתכוון 1 a? צריך להוכיח שיוויון, כל דרך מתמטית נכונה מתקבלת. הכלה דו כיוונית זו דרך נוחה	+
−	==שאלות :)==	+	<math><w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0</math> כפי שרצינו.
−	1. בשאלה 3 סעיפים א ו-ב צריך לעשות באמצעות הראש?! או להציב בנוסחא או משהו כזה , אי אפשר פשוט להגיד  מתי המרחק מינימלי?	+	בנוסף, <math>w_i\neq 0</math> מכיוון שאחרת <math>v_i</math> ת"ל ב<math>v_1,...,v_{i-1}</math> בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.
−	בנוסף לכך נגיד בא' כשהמרחק 2 הוא לא נמצא בקבוצת המרחקים הוא רק שואף ל2	+	:: תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
−	2. בשאלה 2 a צריך להפוך את הווקטורים בקבוצה לאורתונורמליים כדי לחשב את ההיטל?	+	:::לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה <math>\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}</math>.
−	3. אני מסתבך עם 1b אפשר עזרה?	+	::::עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?
		+	::::: זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.
		+	:::::: אוקי, שוב תודה :)
−	===תשובה===	+	==שאלה==
−	1. צריך לרשום מה המרחק בין הוקטור הנתון לוקטור כללי בקבוצה, ואז להסביר מה יהיה החסם התחתון של המרחקים הנ"ל. המרחק לא צריך להיות בקבוצת המרחקים, הוא החסם התחתון שלה. וכפי שלמדתם באינפי, חסם תחתון לא חייב להיות בקבוצה. בנוסף אני ממליץ להסתכל על שאלה שכבר שאלו לגבי השאלה הזו, ולהזכר מה היא הגדרת הנורמה.	+	יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה...
		+	הוכח\הפרך:
−	2. כן, לפי הנוסחא בכיתה צריך בא"נ כדי לחשב היטל ומכך מרחק.	+	1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.
−	3. תחשוב על הדרכים השונות לחשב נפח, אחת מהם תעזור לך להוכיח. צריך להזכר בסוף של לינארית 1 גם.	+	2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.
−	==שאלה==	+	תודה לעוזר הנחמד.
−	המספר הרציונאלי שקרוב ביותר לשורש 2 הוא 1.4?	+
−	:מה לגבי 1.41? לא קרוב יותר? ואין מספר יותר קרוב מזה?	+
−	::אז אני לא מבין איך אפשר למצוא אותו זה יכול להיות גם 1.414 וכו' , לא?! אני לא מבין איך אפשר להגיע אליו	+
−	:::המרחק המינימלי לא מתקבל. המרחק מוגדר כחסם התחתון של כל המרחקים המתקבלים. בדיוק לפי הגדרת חסם תחתון באינפי. <math>d(v,W)=inf\{d(v,w)|w \in W\}</math>	+
−		+
−	==שאלה בקשר למטריצת גראם==	+
−	למה |Gb| = |Gc| כאשר b,c שניהם בסיסים של V?	+
	===תשובה===		===תשובה===
−	זה לא נכון, מי אמר את זה?	+	1. הוכחה:
−	קח בסיס אחד, תכפיל וקטור אחד שלו ב3 ותקבל בסיס שני. הדטרמיננטה של מטריצת גרם של הבסיס השני תהיה פי 9 מהדטרמיננטה של הבסיס הראשון.	+	אנחנו יודעים ש<math>A^*A</math> הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש <math>\lambda</math> ע"ע של <math>A^*A</math> אזי <math>\lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0</math> ולכן <math>\lambda \geq 0</math>.
−	:אוקי. אז זה נכון אולי עבור B וB' אחרי שעשינו לו גראם שמידט?	+	כעת, נניח בשלילה ש<math>I+A^*A</math> סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר <math>|I+A^*A+0\cdot I|=0</math> כלומר, <math>|A^*A-(-1)\cdot I|=0</math> כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של <math>A^*A</math> בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.
−	::לא. מטריצה גרהם של בא"נ היא תמיד <math>I</math> והדטרמיננטה שלה תמיד 1. הדטרמיננטה של מטריצת גרהם של בסיס כללי יכולה להיות שונה מאחד	+	2. הפרכה:
−	:::בהוכחה לגבי מרחקים בהרצאה של צבאן שרצינו למצוא את הקשר למטריצת גראם, הייתה טענה ש|Gb| = |Gb'| כאשר b' הוא לאחר ביצוע תהליך גראם שמידט בלי נירמול.	+
−	::::זה כבר נשמע הגיוני. הרי מותר במטריצה להוסיף לשורה מסוימת שורה אחרת כפול סקלר (כנ"ל לגבי עמודות) והדטרמיננטה תשאר אותו דבר. תהליך גרם שמידט מוסיף לכל וקטור צירוף לינארית של הוקטורים הקודמים. ולכן אם תבצע את ההתליך על מטריצת הגרהם (קודם לשורות, אחר כך לעמודות), לפי לינאריות המכפלה הפנימית, תקבל את מטריצת הגרהם של הבסיס לאחר גרם שמידט ללא נרמול. ולכן הדטרמיננטה תהיה זהה.	+
−	== שאלה ==	+	ניקח A=I. אזי <math>(-1)^2</math> הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A
−	לא הבנתי מה הכוונה בשאלה 4. צריך למצוא את ערכם של המקדמים <math>\alpha _{1},...,\alpha _{n}</math> שתקיים שלכל מט' A מגודל n זה יתקיים? איך זה יכול להיות? או שצריך לתת דוגמא לA ואז למצוא את הפוליטופ כך שזה מתקיים? תוזה רבה על העזרה.	+	:תודה רבה רבה רבה
		+
		+	==שאלה==
		+	בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..
	===תשובה===		===תשובה===
−	'''נתונה''' מטריצה A ריבועית כלשהי. עכשיו צריך למצוא וקטורים <math>v_1,...,v_n</math> כך שיתקיים <math>vol(P(v_1,...,v_n))=|detA|</math>.	+	שים לב ש<math>\lambda</math> הינו ע"ע של <math>A^*A</math> ולכן <math>A^*Av=\lambda v</math>
−		+
	==שאלה==		==שאלה==
−	נניח B בסיס כלשהו לW. ניקח וקטור v שלא נמצא בW. אזי {v1,..,vk,v} (נקרא לקבוצה זו B') כמובן בת"ל אך קבוצה זו אינה בסיס, נכון? אני יכולה להציג את גראם שמיט לפי B'? זה מוגדר בכלל? כי השתמשנו בזה באחת ההרצאות.	+	:עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:
		+	:A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:
		+	:A(A^2+I)(A-2I)=0
		+	:הוכח: A לכסינה.
−	===תשובה===
−	היא בסיס, למרחב <math>span(B')=W+span\{v\}</math>. ואת מתכוונת למטריצת גרהם של <math>B'</math> לא גראם שמידט.
−	מטריצת גרהם מוגדרת לכל קבוצה של וקטורים, פשוט היא מעניינת יותר כאשר הוקטורים בת"ל.	+	תשובה
		+	זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו:
		+	x(x-i)(x+i)(x-2)      z
		+	אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד.
		+	מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A)
		+	ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה
		+	http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png
		+	וזה אם ורק אם A לכסינה
−	חשוב לזכור שקבוצה בת"ל היא תמיד בסיס למרחב שהיא פורסת (הspan שלה).	+	::איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!
−	==שאלה==	+	:: כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..
−	ארז,אנחנו רוצים אותך בתור המרצה שלנו!!!!!!
	==שאלה==		==שאלה==
−		+	שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?
−	אפשר בבקשה עזרה בתרגיל 1 ב - יש לי כיוון מסוים לגבי מטריצת המעבר אבל אני לא מצליח ליישם אותו...	+
	===תשובה===		===תשובה===
−	תנסה לרשום במפורש את מטריצת המעבר של הנפח של הפוליטופ מצד ימין ושל הפוליטופ מצד שמאל. בצד שמאל, השתמש בסעיף a. מה זו המטריצה שהתקבלה בצד שמאל?	+	אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.
−	זכור שעל מנת לזהות מטריצת מעבר או מטריצה של העתקה צריך להראות מה המטריצה עושה לוקטורי הבסיס (בדומה להוכחות שעשינו בסוף לינארית אחד לגבי מטריצות מעבר ומטריצות מייצגות העתקה).	+
−	== שאלה 2 ==	+	תנסו להבין כמה שאתם יכולים.
−	אתה יכול להזכיר איך בדיוק מוצאים את הנפח של הפוליטופ לפי הגדרה?	+
−	===תשובה===
−	קודם כל, שימו לב שכותרת מתחילה ב== ונגמרת ב==. אל תעתיקו את התג <nowiki><nowiki></nowiki> מהדוגמא. הוא נמצא בתוך הטקסט על מנת שאחרי שנשמור את הדף נראה איך רושמים כותרת ולא את הכותרת עצמה.
−	ולעניין,	+	:אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
−	מגדירים נפח פוליטופ ברקורסיה. לכל פוליטופ המורכב מוקטור אחד בלבד אנו מגדירים:	+	::אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.
−	<math>vol(P(v_1)):=||v_1||</math>.	+	אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)
−	כעת, לכל פוליטופ המורכב מk וקטורים, אנו מגדירים:	+	זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.
−	<math>vol(P(v_1,...v_k)):=vol(P(v_1,...,v_{k-1}))\cdot d(v_k,span\{v_1,...,v_{k-1}\})</math>	+	תודה I GUESS...
−	==שאלה 1 ב==	+	==שאלה==
−	האם n הוא המימד של V? האם הוקטורים v1,....,vn בת"ל? יש לי הרגשה שמשהו חסר.	+	למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0??
		+	*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
−	===תשובה===	+	::(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S
−	לא חסר כלום. אם הוקטורים ת"ל ממילא הנפח של הפוליטופ שווה אפס ואז התשובה טריוויאלית.	+	::: סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)
−	*האם n הוא המימד של V?	+
−	::אוקיי, אני רואה את הבעייתיות, ואני אסביר. המרחב שמכיל את <math>v_1,..,v_n</math> לא חייב ללהיות ממימד n כי יכול להיות שהוקטורים ת"ל. ניקח את המרחב שנפרש ע"י הוקטורים האלה, ואת <math>T</math> להיות העתקה מהמרחב הזה לאנשהו.	+
−	::אחרת, באמת, אפשר לקחת <math>T</math> שאת הוקטורים האלה משאיר כמו שהם, אבל וקטורים אחרים במרחב מאפסת, ולכן הדטרמיננטה שלה תהיה אפס בסתירה.
−	::בקיצור, <math>T:span\{v_1,...,v_n\}\rightarrow W</math>	+	::תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R        אבל  כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...
		+	מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:
−	::: ארז, תקן אותי אם אני טועה... אבל T חייב להיות אופרטור לינארי, כי דטרמיננטה של העתקה מוגדרת רק עבור אופרטור. לכן אני חושב שהאפשרות היחידה לפתור את התרגיל הזה היא להניח ש n=dimV.	+	==שאלה==
		+	איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:
−	::::האמת שכנראה שאתה צודק לגבי ההגדרה של דטרמיננטה של ההעתקה ולכן זה חייב להיות אופרטור (אני צריך לרענן את זכרוני). מה שבטוח הוא, שהמימד לא חייב להיות n. יכול להיות שכל הוקטורים הנתונים הם בעצם אותו וקטור.	+	נתונה מטריצה A:
−	::::: אם כך, יכול להיות ש v1,...,vn אינם בסיס. כיצד נדבר על מטריצת מעבר? אפשר רמז?	+	0 0 0 5
−		+
−	:::::: אם הם ת"ל אז הנפח הוא אפס	+
−		+
−	==שאלה קטנה (בנוגע לכתיבה)==	+
−		+
−	תגיד שיינר, כאשר אנחנו סתם מחשבים דברים (ולא בהוכחות או משהו כזה) האם באמת צריך לכתוב כל פעם ליניאריות ברכיב I או כמו-לינ' ברכיב II? זה די מסרבל, וזה די ברור...	+
−		+
−	*מתי היינו צריכים לכתוב את זה בתרגיל של השבוע??	+
−		+
−	===תשובה===	+
−	אין צורך לרשום את זה. אפשר פשוט להוציא את הסקלר (או הצמוד של הסקלר כשצריך)	+
−	== שאלה 1 סעיף ב ==	+	0 0 4 1
−	ב1 b האם הכוונה לאופרטור לינארי כי יוצא לי נכון רק עבור אופרטורים.	+	0 3 3 2
−	בנוסף, הוכחתי שהנפח של הפוליטופ של TV1 עד TVn שווה ל |detQ| כפול הפוליטופ של V1 עד Vn בהנחה שהוקטורים בת"ל	+	3 6 5 4
−	הוכחתי ש Q היא ההצגה של T מV1 עד Vn לV1 עד Vn.	+
−	V1 עד Vn הוא בסיס לתת מרחב של V. האם אני יכול שההצגה הזו היא ההצגה המייצגת של T?	+	א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)
		+	ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A.
	תודה!		תודה!
−	*תשובה : ב-1b אני השתמשתי בנוסחת חישוב נפח פוליטופ לפי מטריצת המעבר.	+	:למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה
		+	::לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.
−	===תשובה===	+	== שאלה ==
−	<s>זה נכון להעתקה לינארית ולא רק לאופרטור</s>	+	איפה המבחן מחר?
−	נכון, דטרמיננטה מוגדרת רק על אופרטורים ולכן זה נכון.	+	לפי אורי וייס
		+	505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...
−	==שאלה - בנוגע לשאלה 4==	+	== שאלה ==
−	ב-a - מה צריך לעשות? באופן כללי, כל מטריצה A שנקח שוקטוריה הם v1,...,vn תתאים כאן. בנוסף, אפשר לקחת וקטורים שנפח הפוליטופ שלהם הוא 1, ואת מטריצת היחידה. יש אינספור אפשרויות. מה בדיוק רצית שנעשה?	+
−	-ב-b : אם הבנתי נכון, בעצם צריך ממש לכתוב את הגדרת נפח הפוליטופ כביטוי מפורש, אבל קבלתי תשובה של שורה אחת. זה בסדר?	+
−	===תשובה===	+	סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...
−	שימו לב לשאלה. A '''נתונה''' מה זאת אומרת כל מטריצה תתאים? לא ביקשו ממך לבחור מטריצה. בקשו ממך לבחור '''וקטורים''' בהנתן מטריצה. אי אפשר לקחת את מטריצת היחידה, כי לא נתון שA היא מטריצת היחידה. ומה הכוונה ב"וקטורי המטריצה"?	+
−	בב', אם זה הביטוי הנכון זה בסדר, צריך להסביר בשתי מילים איך הגעת אליו.
−
−	*אוקיי, אז אם A מסדר nxn, אני יכול לקחת את הוקטורים של A עצמה? כלומר, העמודה ה1 של A תהיה v1, ... העמודה ה-n של A תהיה vn, וכך לקבל שוויון נכון לכל A? (כי אם נחשב את הצגת מטריצת המעבר של הוקטורים שמצאנו (שהיא, ממש במקרה, A) לפי הבסיס הסטנדרטי נקבל שהדטרמיננטה שלה מן הסתם שווה לדטרמיננטה של A)
−	**כן יפה
−
−	==שאלת קידבק==
−	האם אמור להיות תרגיל 8? (מזל שזה אנונימי...)
−	*אני לא יודע, אבל אני מאמין שאם היה אמור להיות הוא כבר היה כאן (זה לא שהאתר נזנח, הוא התעדכן די הרבה בשבוע האחרון...)
−	*אל תהיה בטוח שזה כל כך אנונימי... מקורותיי בCIA אומרים לי שאת/ה גר/ה בתל-אביב, ויש 93% סיכויים שאת/ה גר/ה ברחוב הכרמל, ליד יעבץ וסמטת התבור.
−	: ה-CIA מאבדים את היכולות שלהם אם כך. מה ה-KGB אומרים לך?
	===תשובה===		===תשובה===
−	יהיה תרגיל, אני אפרסם אותו ביומיים הקרובים	+	T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון
		+	לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+
		+	כלומר לכל w בU קיים w' כך ש  T(w')=w
		+	נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי
		+	<w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0>
		+	ולכן Ty גם בU+
−	==שאלה בקשר ללכסון==
−	נניח שנתונה לי מטריצה A מגודל n על n. מצאתי את המרחבים העצמיים שלה ומצאתי בסיס לכל מרחב עצמי.
−	האם בטוח שאיחוד הבסיסים למרחבים העצמיים הוא קבוצה בת"ל?
−	כלומר האם אני יכול להיות בטוח שאיחוד הבסיסים למרחבים העצמיים הוא בסיס ל F^n?
−	:תשובה מישהו?
−
−	===תשובה===
−	אילו 2 שאלות שונות והתשובה היא כן ולא.
−
−	ידוע שוקטורים עצמיים השייכים לע"ע שונים הם בת"ל ולכן איחוד הבסיסים למרחביים העצמיים הוא קבוצה בת"ל. אבל הקבוצה הזו לא בהכרח בגודל n ולכן לא בהכרח פורסת את F^n. אם היא כן, אזי המטריצה לכסינה (כי קיים בסיס של F^n המורכב מוקטורים עצמיים של A)
	==שאלה==		==שאלה==
−	אם v,w וקטורי עמודה, A מטריצה ריבועית, אז מתקיים	+	האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?
−	<math><Av,w> = <v,A^*w></math>	+	==תשובה==
−	רק ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית של F^n, נכון? כי רק ביחס אליה אם <math>T(v) = Av</math>  אז  <math>T^*(v) = A^*v</math>.	+	לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.
−	אשמח אם מישהו יאשר לי את זה.	+
−		+
−	===תשובה===	+
−	זה נכון. לא הייתי אומר '''רק''' ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית, אבל זה לא בהכרח נכון לכל מכפלה פנימית. יש לבדוק כל מקרה לגופו.	+
	==שאלה==		==שאלה==
−	ארז שלום, יש לי כמה שאלות בנוגע לתרגיל ההוא על נורמה ששומרת מכפלה פנימית יש שם כמה דברים שלא ממש הבנתי: (בהוכחה של המרוכבים)	+	המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?
−	בשורה השלישית אתה הכנסת הצמדה באיבר השלישי שאני לא מבין מאיפה היא באה וגם באיבר הרביעי החלפת את המקומות של Au ו-Aw.	+
−	(זה בגלל שאתה יודע ש-u ו-w ממשיים??)	+
−	ואז בשורה האחרונה החלפת את ה-Re ל-מינוס Im, למה יש שם מינוס?	+
−	תודה, שגיב.	+
	===תשובה===		===תשובה===
−	* יש שם טעות, אני עכשיו אתקן. פשוט צריך לשנות את סדר הכפל בשני האיברים. ההצמדה מגיעה משינוי הסדר (שיניתי את הסדר במקום הלא נכון).	+	התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע  במבחן.
−	*u וw אינם ממשיים, זו הוכחה מעל המרוכבים.	+
−	*זה נכון באופן כללי למספר מרוכב: <math>iz=i(a+bi)=ai-b</math> ולכן <math>Re(iz)=-b=-Im(z)</math>.	+
−	==שאלה==
−	היי ארז, יש לי שאלה לגבי פוליטופים - עוד פעם.. נניח v1,..,vn בת"ל. האם זה אומר שהם בסיס לV? באחד הדיונים למעלה כתבת שהמימד לא חייב להיות n, אז בעצם v1,..vn לא חייבים להיות בסיס...
−	===תשובה===	+	רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...
−	השאלה העיקרית היאמה זה <math>V</math>. בשאלה הראשונה בסופו של דבר אמרתי שזה אופרטור מהמרחב שנפרש ע"י  <math>v_1,..,v_n</math> אל תוך עצמו. ולכן אם הוקטורים הללו בת"ל הם פורשים את המרחב הזה. אבל אם תיקח מרחב גדול יותר שמכיל את הוקטורים האלה, הפוליטופ שלהם יהיה אותו דבר, והנפח שלו יהיה אותו דבר. אבל במקרה זה, אופרטור מהמרחב הגדול יותר לעצמו לא יקיים את תנאי התרגיל.	+
−	:כל התרגיל הזה היה בעייתי. הגענו להסכמה שT זה אופרטור. אם אתה מצמצם את התחום של האופרטור למרחב הנפרש ע"י v1,...,vn לא ניתן להוכיח את הטענה. (כי אז T כבר לא אופרטור ולכן לא מוגדרת עליו דטרמיננטה).	+
−	::זה שT אופרטור זה לא מספיק, זה עדיין לא אומר שהמימד של V הוא n. ואז בכלל אי אפשר להתייחס לv1...vn כבסיס. בהחלט תרגיל בעייתי.	+
−	::: אני לא מצמצם. אני מגדיר את T בתור האופרטור מהמרחב הנפרש לתוך עצמו. הוא מוגדר היטב ויש לו דטרמיננטה ואז התרגיל נכון. ואני מדגיש פעם נוספת - הוקטורים לא חייבים להוות בסיס! זה לא בעייה בשום צורה! כי אז נפח הפוליטופ הוא אפס, והדטרמיננטה של האופרטור היא אפס והכל תקין וסבבה לגמרי. הבעייה העיקרית היא הגדרה מדוייקת של T (כמו שרשמתי פה), אני אנסח את זה במדויק כאשר אני אפרסם את הפתרונות של התרגיל (בקרוב)	+
−	::::לא מדובר פה על בסיס.. מדובר פה על המימד של V, אם הוא חייב להיות n או לא. ברור שאם v1,..vn ת"ל אז הנפח הוא 0 אבל מה קורה אם למשל v1,..vn בת"ל אבל המימד הוא לא n.	+
−	::::: מה זה V אין פה שום V. האופרטור מוגדר על הspan של <math>v_1,..v_n</math> אם הם בת"ל הspan שלהם בהכרח ממימד n. אין צורך בשום מידע נוסף.	+	==שאלה על התרגיל==
		+	קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )
−	::::: נסמן {W = span{v1,...,vn. אתה לא יכול להיות בטוח שהאופטור T פועל מW לW, אלא אם כן הוכחת שW הוא תת מרחב T אינווריאנטי. אני לא רואה איך אפשר להוכיח את זה.	+	:לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?
−	:::::: אתה יכול להיות בטוח כי זה התרגיל. T '''מוגדר''' להיות האופטור מW לW. ההגדרה בתרגיל עצמו היא לא נכונה, על זה אין וויכוח. הסברתי שאם נגדיר את T להיות אופרטור מW לW אז התרגיל נכון. פשוט תשכח מכל מרחב אחר חוץ מW, זה לא רלוונטי בתרגיל	+	=תודה!!=
		+	ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם.
		+	תבוא לתרגל באינפי 2 (:
−	::::::: עכשיו הבנתי. אם כך, n הוא המימד של V. לדעתי, הנקודה הזאת לא הובהרה מספיק. היה יותר טוב אם הייתם מדגישים את זה לפני הגשת התרגיל...	+	: בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
−	:::::::: ארז, אתה גם עמדת בתוקף על כך שהמימד של V אינו בהכרח n, כשלמעשה, לפי מה שאתה אומר עכשיו, הוא כן...	+	:אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח
−	::::::::: אם הם תלויים לינארית זה לא n!!!!!!!!! קח את <math>v_1=v_2=...=v_n</math>. נפח הפוליטופ הוא אפס, המימד של W הוא אחד. דיי להגיד שהמימד הוא n! :)
−	===תשובה 2===	+	תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.
−	אני רואה שעשיתי בכל מקרה כמה טעויות בכתיבה של התשובות פה. אז הנה סדר:	+
−	יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n</math> ויהי <math>W=Span\{v_1,...,v_n\}</math>, ויהי <math>T:W\rightarrow W</math> אופרטור לינארי. אזי: (הסעיפים שרשומים בתרגיל)	+	-מצטרף לתשבוחות
		+	רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש
−	::ארז כבר הגשנו את זה... ממש לא היה ברור שהאופרטור פועל בתוך המרחב הנפרש של הוקטורים...	+	:חחחחחחחחחחחח גדוללל!
−	::: אני לא מבין מה הבעייה כל כך. הפתרון בכלל לא דורש את זה (כמו שתראו בתשובות). האם הבעייה שמצאתם מקרי קצה ששם זה לא עובד? אפשר להראות את זה באמצעות מטריצות המייצגות את ההעתקה. הסיבה שזה חייב היה להיות אופרטור היא שאחרת הדטרמיננטה לא הייתה מוגדרת. אם אתה מניח שזה אופרטור השאלה פתירה ובלי יותר מידי סיבוכים.	+
−	כשיתפרסמו הפתרונות אתם תראו.	+
−	:::: הבעיה היא במקרה שמניחים שהוקטורים הם בת"ל. לא ידענו שהאופרטור פועל במרחב הנפרש ע"י הוקטורים, לכן לא יכולנו להיות בטוחים שהם בסיס, לכן לא יכולנו לדבר על מטריצת המעבר/המטריצה המייצגת לפי הבסיס, פשוט כי לא ידענו שזה בסיס.	+	:מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)
−	==שאלה בקשר לבוחן==	+	חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!
−	היי ארז. אתה יכול בבקשה להעלות רשימה מדוייקת של הנושאים שיש לבוחן? ואתה יכול בבקשה להעלות גם תרגילי הכנה? תודה.	+
−		+
−		+
−	היי חברים, אתר של מבחנים ישנים של צבאן נראלי הכי טוב ללמוד מזה..	+
−	בהצלחה לכולנו(: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html  חנוכה שמח.	+
		+	=שאלה=
		+	בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95.
		+	מה לעשות?
	===תשובה===		===תשובה===
−	קישור מצויין קודם כל.	+	אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל ש'''ישנה''' את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.
−	שנית, אנחנו נשתדל להעלות מיקוד מסוים לבוחן בקרוב, ותרגילים להכנה הם תרגילי הבית, החוברת והמבחנים שצורפו. (לואי גם הספיקה יותר ממני בתרגיל, הייתי ממליץ לצלם חומר מהתלמידים שלה).	+	==שאלה==
		+	היי ארז,
		+	ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן?
		+	תודה רבה!
		+	נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!
−	==שאלה: תרגיל 8.==
−	בתרגיל הראשון, T הוא אופרטור מV לV?
−	*גם אני שמתי לב לזה. על פניו נראה שכן כי כל העמוד מדבר על אופרטורים.
−	:ועוד שאלה קטנה. כשאני משתמשת במשוואת כוכב נולד, אני יכולה להשתמש כל הזמן בשני צדדיה? בלי להסביר את המעברים?
		+	סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...
−	===תשובה===	+	:מתי יפורסמו פתרונות למבחן?
−	כן, תקרא קצת למעלה בחוברת ותראה שזה מוגדר כך.	+
−	כן לגבי הכוכב נולד.
−	==שאלה כללית==	+	::אחרי שהמבחנים יבדקו
−	בהרצאה הוכחנו מס' תכונות על ה"ל T, כמו ש:(T*)* שווה לT. שאלתי היא האם זה נכון רק עבור אופרטורים? או עבור T:v->w כללי? כי בהוכחה השתמשנו בהצגות לפי בא"נ ובעובדה ש[T*] שווה ל[T]*.	+
−	===תשובה===	+	:::לא מאמינים. תוכיח :)
−	זה נכון להעתקות לינאריות באופן כללי. מה הבעייה עם בא"נ ו[T*] שווה ל[T]*? הרי אילו מטריצות המייצגות את ההעתקה לפי הבסיסים הא"נ של V וW. אני מאד ממליץ לקרוא על הנושא בחוברת של בועז, זה מאד מסודר וברור.	+	:::: אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל
		+	==שאלה==
		+	מה מס' הקורס? :P
		+	==אמירה==
		+	יש ציונים!!!
−	==תרגיל 8, שאלה 2.8ג'==	+	למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?
−	מה הכוונה בתיאור פשוט של החיתוך בין כל 2 מחלקות אופרטורים? אפשר דוגמה?	+
−	===תשובה===	+	הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות
−	(לא של ארז!)	+
−	אני משער שזה חיתוך של כל שתי תכונות שמוזכרות בשרטוט,	+
−	כלומר לתת תיאור פשוט לאופרטורים נורמלים ואוניטרים, או אופרטורים צמודים לעצמם וגם אנטי צמודים לעצמם (שזה כמובן רק אופרטור האפס)	+
−	ושוב, אני לא בטוח! (אבל זה נשמע הגיוני..)	+
−	* נכון.	+	איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?
−	==ש.ב==	+	18/11
−	תרגיל 2.8 ב': אני יכולה פשוט להראות שתכונה מסוימת לא נכונה עבור מטריצות, ובאופן אוטומטי זה יראה גם להעתקות ליניאריות, נכון?	+
−	ועוד שאלה לגבי תרגיל 2.4. פתרתי מערכת משוואות עם T,T*, A,B והראתי שקיימות A וB שתלויות בT וT*. זה מראה את היחידות? (כי יצא לי רק פתרון אחד שתלוי אך ורק בT וT*) אם לא, איך אפשר להוכיח את היחידות בדרך אחרת? (מניחים שקיימים C,D כך שT=C+iD ואז מה?)	+
−	תודה רבה על העזרה והמסירות!!	+
−	תשובה (ע"י שותף לקורס, לא של ארז):	+	מה 18 ומה 11  עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?
−	* ב-2.8 ב' מה שאמרת נכון. העתקה לינארית היא 'שימוש' של מטריצה (אם הבנתי נכון). אם שתי העתקות זהות אזי גם המטריצות שמייצגות אותן (לפי בסיס מסויים) תהיינה זהות, ולהפך.	+
−	* ב-2.4 - לא אהבתי את הדרך שהוצעה, ולכן השתמשתי בדרך אחרת להוכחת היחידות (שהיא דרך שלעתים קרובות מתבררת כנוחה יותר) : את מניחה שקיימת הצגה נוספת (עם כל המשתמע מכך...) של שתי מטריצות כאלה, אני קראתי להן A2, B2, ומראה שאם מדובר בהצגה נוספת עבור T, אזי כמובן ששתי ההצגות שוות זו לזו, ותקבלי בסופו של דבר: A=A2, B=B2, ולכן מדובר באותה הצגה, כלומר יש הצגה אחת ויחידה.	+
−	===תשובה===	+	:כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...
−	2.4: יש סיבה לרמזים אשר נרמזים בחוברת. במקרה זה רצינו שתראה גם מהן המטריצות היחידות האלה (כפונקציה של T וT*). לגבי השאלה המקורית, אם יש רק פתרון אחד למערכת, אז מן הסתם יש יחידות.	+
−	תרגיל 2.8: לכל העתקה לינארית יש מטריצה מייצגת (לפחות אחת). אם לוקחים את המטריצה המייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי, אפשר לעבור מאד בקלות בין תכונות של האופרטור לתכונות של המטריצה. אמנם לא חשוב להסביר את זה כל פעם מחדש, אבל בהחלט יש להבין מדוע זה נכון.
−	** תוספת לתשובה על 2.4: ברגע שאתה מציג את A כפונקציה של T וT צמודה בלבד, ברור שA יחידה. כי הרי כל מטריצה אחרת גם תהיה חייבת להיות אותה פונקציה של T וT צמודה, אבל שתי אלה קבועות בתרגיל. בקיצור, אם עוקבים אחרי הרמז זה תשובה של 2 שורות.	+	:ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
−	==בקשר לבוחן==	+	::עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות
−	צריך לדעת את כל ההוכחה של משפט הלכסון? (תכונות שקולות).  ועוד דבר: לומר ש|xI-T| מל"ל ו|xI-[T]B] מל"ל (T לפי בסיס B) זה אותו דבר?	+
−	===תשובה===	+	מתי הפתיחת מחברות?
−	אני לא יודע ספציפית למשפט הזה, אבל הוכחות משפטים לא צריך לדעת, אלא רק משפטונים קטנים.	+
−	<math>|xI-T|</math> הינו אופרטור ולכן הדטרמיננטה שלו מוגדרת לפי המטריצה המייצגת אותו. לכן <math>|xI-T|=|[xI-T]_B|</math> אם B הוא הסטנדרטי אז גם מה שאתה רשמת יוצא נכון.	+	תשאלו את המרצים
−	:אין הוכחות משפטים בבוחן? כי בעמוד הראשי אמרת שצריך לדעת הוכחות של משפטים וגם של משפטונים. (למרות שנראה הגיוני שלא יהיה הוכחות משפטים בבוחן (לעומת מבחן)).	+
−	:: אין הוכחות משפטים, רק משפטונים. אנחנו נפרסם הודעה עם מיקוד מסוים בימים הקרובים	+	==הכרזה==
		+	יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')
−	::: לא הבנתי משהו. למה זה נכון רק אם B הסטנ'? הרי הדט' של מטריצה לא תלוייה בבסיס שאנחנו בוחרים?	+	יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<?
		+	הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)
−	:::: לא הבנתי כנראה את הסימון בשאלה המקורית. בכל מקרה מה שאני רשמתי נכון לכל B.
−	==שאלה כללית==	+	הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..
−	איך מלכסנים אופרטור? לדוגמא, T(x,y)=(x-y,x+y)  zz. אז אני לוקח את הדטרמיננטה של xI-T, משווה לאפס ומוצא ע"ע, ואז מה?	+
−	ועוד שאלה. למה הפולינום המינימלי של A בהצבה של הע"ע של A מתאפס? מה ההוכחה?	+	==שאלה==
		+	מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.
−	: יהי v ו"ע של A שקשור לע"ע t. נשים לב שלכל k טבעי מתקיים: <math>A^kv = t^kv</math> (ההוכחה באינדוקציה).	+	===תשובה===
−	נסמן <math>m(x) = a_0+a_1x+...+a_nx^n</math>. אזי:	+	את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.
−	<math>m(t)v = (a_0 + a_1t + ... + a_nt^n)v = a_ov + a_1tv + ... + a_nt^nv =</math>	+	==הצעה==
−	<math> a_0v + a_1Av + ... + a_nA^nv = (a_0I + a_1A + ... + a_nA^n)v = m(A)v = 0v = 0  </math>	+	לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.
		+	===תשובה===
		+	ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.
−	כלומר: <math>m(t)v = 0</math>	+	:אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
−	אבל v ו"ע לכן הוא אינו 0, לכן <math>m(t) = 0</math>.	+	::בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.
−	==טעות בתרגיל ושאלות==	+	מתי יהיו ציונים סופיים?
−	בתרגיל 2.4 מבקשים להוכיח שעבור העתקה לינארית T קיימת הצגה T=A+iB כאשר A ו B צמודות לעצמן.	+
−	הכוונה היא עבור אופרטור T?	+
−	שאלה 1: מה צריך להסביר בשביל להפריך ב2.8 בעזרת מטריצות?	+
−	שאלה 2: בתרגיל 2.14 מה הכוונה בהסק? האם מאחר שT שומר זויות זה נובע? או להוכיח בעזרת זה שT שומר מכפלה פנימית?	+
−	תודה לעוזרים.	+	לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.
−	== שאלה==	+	===פתיחת מחברות===
−	מה הדרך היעילה ביותר לחשב היטל של וקטור על קבוצה\תת מרחב?	+	מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?
−	::מצטרף. האם חובה לבצע על וקטורי הבסיס של תת המרחב גרם-שמידט לפני כן?
−	==שאלה==
−	מה יהיה מבנה הבוחן, ומה יהיה אורכו? איזה סוג של שאלות, כמה שאלות, וכמה זמן ייארך?	+	אני ממליץ לשאול את בוריס :)
−	==שאלה==	+	===לגבי מועד ב'===
−	ארז, הוכחת לנו שאם |A|=0 (כאשר A זו מטריצת גראם) אז v1,..vn ת"ל (גם בכיוון ההפוך.)	+	אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??
−	האם את המשפט |A|!=0 <===> הוקטרים v1,..,vn ת"ל מוכיחים באותה צורה בדיוק?	+
−	==תשובה==	+
−	המשפט השני הוא בדיוק שלילת הראשון. ההוכחה היא אותה הוכחה.	+
−	== שאלה==
−	האם נוכל לקבל את תרגיל מספר 6 ביום ראשון במקום ביום שלישי כדי שנוכל לראות את הטעויות שלנו בדפים לפני הבוחן... התשובות באתר לצערי לא מספקות... בנוסף מה עם המבנה של הבוחן ? כמ ה שאלות יהיו?
−	:מצטרף לבקשה.	+	רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..
−	==שאלה==	+	===תשובה===
−	ארז - אמרת שתכין מעין 'מיקוד' לבוחן בימים הקרובים. האם אתה יכול לפרסם אותו?	+	מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').
−	מוסיף מידע לשאלה: לואי פרסמה בBIUMATH שהחומר הוא עד תרגיל 7.	+
−	אפשר לאמת?	+
−	*מצטרף	+	===תשובה של דר' צבאן===
−	זה טיפה דחוף	+	לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.
−	האם הבוחן הוא עד תרגיל 7 לא כולל (עד פוליטופים לא כולל)?	+
−	הגעתי למסקנה שארז הלך לאיבוד:( יהיה שמח אם מישהו ימצא אותו עד מחר...	+	לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון
−	:'החומר הוא עד תרגיל 7', האם הכוונה שמה שנלמד בהרצאות מעבר - למשל משפט השילוש האוניטרי, גם לא נכנס לבוחן?	+	נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום
−	האם בבוחן יהיה צריך לדעת את החומר של מרחקים?והפוליטופים?	+	ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.
−	== חדשות (תשובה) ==	+	לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.
−	היא (לואי) תיקנה את דבריה, ויהיה הכל (כולל העתקות צמודות ופוליטופים וכו') חוץ מ"החומר הכי חדש שנלמד בנושא" שאני מניח שזה שילוש ולכסון אוניטרי.	+
		+	סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין
		+	את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד.
		+	מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה.
		+	בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה).
		+	המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.
−	*ב11 בלילה לפני הבוחן מודיעים על הוספת חומר?	+	מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):
−	===תשובה===	+	http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html
−	מצטער שלא הוספתי מיקוד כפי שאמרתי.	+
−	החומר הוא כל החומר עד חנוכה (כך היה רשום מראש)	+	בהצלחה,
−	כמו כן, לא יהיה צורך להוכיח משפטים, אלא רק משפטונים.	+	ד"ר בועז צבאן
−	מומלץ לעבור על כל ההשלמות והתיקונים המופיעים באתר.	+	: תודה רבה
−		+
−	בהצלחה.	+
−		+
−	==שאלה==	+
−	בקשר לבוחן. התגנבה שמועה לאוזניי שהניקוד של שאלת ההוכחה הוא 10 נקודות. זה לא ממש נשמע הגיוני, בהתחשב בעובדה שנלקח לרובנו המוחלט יותר מחצי מהזמן להקדיש לשאלה זו, מה שהותיר לנו מעט זמן להקדיש לשאלת הנכון-לא נכון (מה שגרר אף ניחושים מיותרים). האם זה נכון?	+
−	אז מה גם בנכון/לא נכון היה צריך להוכיח את הדברים בטיוטה שלי כדי שאני אדע אז אני חושב שצריך להביא לכל שאלה אותו ניקוד..	+

---

גרסה אחרונה מ־17:16, 2 במאי 2010

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

ארכיון 2 - שאלות על תרגילים 5-8

ארכיון 3 - שאלות על תרגילים 10-11

ארכיון 4 - שאלות על תרגיל 12 והמבחן

ארכיון 5 - שאלות על המבחן

ארכיון 6 - שאלות על המבחן

שאלות

פתיחת מחברות

מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?

תשאלו את המרצים

מבחן מועד א'

העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו. אתם יכולים להעלות את המבחן? תודה.

תשובה

תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו

פתיחת מחברות

מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?

פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים

תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות. זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.

  ,תודה רבה.

פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.

ציוני מבחן

מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?

תשובה

הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא

מקום הפרסום

היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט? ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!

תשובה

אני לא יודע, אני אודיע כשאדע

שאלה

אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??

שאלה

אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?

תשובה

כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.

הוכח\הפרך

שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-

תשובה

אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה

גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).

תשובה: (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל (סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)

שאלה

אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה: ככה: T נורמלי הוכח ש-

הוכחה

דבר ראשון נוכיח ש. נניח לכן ולכן אבל ולכן ולכן ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן ולכן כלומר . בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.

עכשיו נוכיח את הטענה. אם"ם אם"ם אם"ם ולכן . בצורה דומה . אבל הגרעינים שווים ולכן ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).

השלמה לבסיס

האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור לבסיס עבור . למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?

תשובה

זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.

שאלה

איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד שהוא 0 ? בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית. אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?

הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.

תשובה

תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה

שאלה

איך מוכיחים את הכיוון הבא: אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)

תשובה

צריך להוכיח שאם בא"נ אזי גם בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.

T אוניטרית ולכן . נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש: ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.

שאלה

א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y

ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V> לכל V שייך ל- V.

תשובה

א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.

אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.

ב. זה משפט ההצגה של ריס.

שאלה

איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t

תשובה

בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה נשחלף לקבל ש כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.

החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס .

שאלה

אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?

תשובה

מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות

שאלה

הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי. האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן TT=I TT*=I ואז T=T* משמע שזה אמת

תשובה

בוודאי שההופכית יחידה...

וזו הוכחה נכונה.

תודה! (:

2 שאלות

1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?

2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?

תודה!

תשובה

1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).

לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.

זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.

2. צ"ל להוכיח שהנוסחא נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה לכל . אבל לפי ההנחה, הוקטורים מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה יוצאת

כפי שרצינו.

בנוסף, מכיוון שאחרת ת"ל ב בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.

תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?

לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה .

עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?

זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.

אוקי, שוב תודה :)

שאלה

יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה... הוכח\הפרך:

1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.

2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.

תודה לעוזר הנחמד.

תשובה

1. הוכחה:

אנחנו יודעים ש הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש ע"ע של אזי ולכן .

כעת, נניח בשלילה ש סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר כלומר, כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.

2. הפרכה:

ניקח A=I. אזי הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A

תודה רבה רבה רבה

שאלה

בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..

תשובה

שים לב ש הינו ע"ע של ולכן

שאלה

עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:

A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:

A(A^2+I)(A-2I)=0

הוכח: A לכסינה.

תשובה זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו: x(x-i)(x+i)(x-2) z אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד. מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A) ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png וזה אם ורק אם A לכסינה

איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!

כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..

שאלה

שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?

תשובה

אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.

תנסו להבין כמה שאתם יכולים.

אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה

אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.

אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)

זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.

תודה I GUESS...

שאלה

למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0??

*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..

(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S

סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)

תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R אבל כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...

       מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:

שאלה

איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:

נתונה מטריצה A:

0 0 0 5

0 0 4 1

0 3 3 2

3 6 5 4

א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)

ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A. תודה!

למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה

לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.

שאלה

איפה המבחן מחר?

לפי אורי וייס 505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...

שאלה

סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...

תשובה

T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+ כלומר לכל w בU קיים w' כך ש T(w')=w נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי <w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0> ולכן Ty גם בU+

שאלה

האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?

תשובה

לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.

שאלה

המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?

תשובה

התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע במבחן.

רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...

שאלה על התרגיל

קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )

לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?

תודה!!

ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם. תבוא לתרגל באינפי 2 (:

בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו

אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח

תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.

-מצטרף לתשבוחות רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש

חחחחחחחחחחחח גדוללל!

מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)

חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!

שאלה

בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95. מה לעשות?

תשובה

אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל שישנה את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.

שאלה

היי ארז, ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן? תודה רבה! נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!

סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...

מתי יפורסמו פתרונות למבחן?

אחרי שהמבחנים יבדקו

לא מאמינים. תוכיח :)

אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל

שאלה

מה מס' הקורס? :P

אמירה

יש ציונים!!!

למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?

הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות

איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?

18/11

מה 18 ומה 11 עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?

כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...

ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.

עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות

מתי הפתיחת מחברות?

תשאלו את המרצים

הכרזה

יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')

יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<? הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)

הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..

שאלה

מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.

תשובה

את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.

הצעה

לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.

תשובה

ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.

אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.

בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.

מתי יהיו ציונים סופיים?

לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.

פתיחת מחברות

מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?

אני ממליץ לשאול את בוריס :)

לגבי מועד ב'

אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??

רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..

תשובה

מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').

תשובה של דר' צבאן

לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.

לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.

לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.

סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד. מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה. בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה). המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.

מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html

בהצלחה,

ד"ר בועז צבאן

תודה רבה