הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר"
(←סרטונים ותקצירי הרצאות) |
(←הוכחה) |
||
(6 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 37: | שורה 37: | ||
<videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash> | <videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash> | ||
− | ===נורמה | + | ===נורמה=== |
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> | יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> | ||
שורה 52: | שורה 52: | ||
<videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash> | <videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===נורמה מושרית=== | ||
+ | יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>. | ||
+ | |||
+ | הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י הנוסחא: | ||
+ | |||
+ | :<math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} </math> | ||
+ | |||
+ | שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב - | ||
+ | |||
+ | מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי <math>0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R}</math> ולכן מותר להוציא שורש. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ====הנורמה המושרית היא אכן נורמה==== | ||
+ | |||
+ | נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה. | ||
+ | |||
+ | תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי <math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0</math> ממש לפי הגדרת פונקצית השורש. | ||
+ | כמו כן, נקבל כי <math>||v||=0</math> אם ורק אם <math>\langle v,v\rangle=0</math> אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית, <math>v=0_V</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | כעת, יהי סקלר <math>c\in\mathbb{C}</math> אזי | ||
+ | |||
+ | :<math>||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \langle v,v\rangle=|c|\cdot ||v||</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה. | ||
+ | |||
+ | צריך להוכיח כי: | ||
+ | |||
+ | :<math>||v+w||\leq ||v||+||w||</math> | ||
+ | |||
+ | כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול: | ||
+ | |||
+ | :<math>||v+w||^2 \leq ||v||^2 +2||v||\cdot ||w||+||w||^2</math> | ||
+ | |||
+ | נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה: | ||
+ | |||
+ | :<math>||v+w||^2=\langle v+w,v+w \rangle = \langle v,v \rangle + \langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle + \langle w,w \rangle =</math> | ||
+ | :<math>=||v||^2 +\langle v, w\rangle + \overline{\langle v, w\rangle}+ ||w||^2 = ||v||^2 +2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math> | ||
+ | |||
+ | כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את <math>||v||^2+||w||^2</math> משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא: | ||
+ | |||
+ | :<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי | ||
+ | |||
+ | :<math>\langle v-w, v-w\rangle\geq 0</math> | ||
+ | |||
+ | ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי | ||
+ | |||
+ | :<math>0\leq \langle v-w,v-w \rangle = ||v||^2 -2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math> | ||
+ | |||
+ | מכאן נובע כי | ||
+ | |||
+ | :<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{||v||^2+||w||^2}{2} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי <math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math> | ||
+ | |||
+ | אם <math>v=0_V</math> או <math>w=0_V</math> התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס. | ||
+ | |||
+ | אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים <math>\frac{v}{||v||} , \frac{w}{||w||}</math> באי שיוויון העזר ונקבל: | ||
+ | |||
+ | :<math>Re\left(\langle \frac{v}{||v||}, \frac{w}{||w||}\rangle\right)\leq \frac{||\frac{v}{||v||}||^2+||\frac{w}{||w||}||^2}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | :<math>Re\left(\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \cdot Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך: | ||
+ | |||
+ | :<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===אי שיוויון קושי-שוורץ=== | ||
+ | בהנתן מרחב מכפלה פנימית <math>V</math> יחד עם הנורמה המושרית, לכל <math>v,w\in V</math> מתקיים כי | ||
+ | :<math>|\langle v,w\rangle | \leq ||v||\cdot ||w||</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====הוכחה==== | ||
+ | נציב את הוקטורים <math>v, \langle v,w \rangle w</math> באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל: | ||
+ | |||
+ | :<math>Re\left(\langle v, \langle v,w \rangle w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w||</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | :<math>Re\left(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot |\langle v,w \rangle|\cdot ||w||</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר | ||
+ | |||
+ | :<math>|\langle v,w \rangle|^2 \leq |\langle v,w \rangle|\cdot ||v||\cdot||w||</math> | ||
+ | |||
+ | כעת אם <math>\langle v,w \rangle=0</math> אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב<math>|\langle v,w \rangle|</math> ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ. | ||
===מכפלה פנימית מושרית=== | ===מכפלה פנימית מושרית=== |
גרסה אחרונה מ־13:58, 27 ביוני 2022
תוכן עניינים
חומרי עזר
סרטונים ותקצירי הרצאות
פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה
מכפלה סקלרית
מכפלה פנימית
יהי מרחב וקטורי מעל או
מכפלה פנימית היא מכפלה המקיימת את ארבע התכונות הבאות:
לכל ולכל מתקיים כי:
- אדטיביות
- כפל בסקלר
- הרמיטיות
- אי שליליות וכן אם ורק אם
נורמה
יהי מרחב וקטורי מעל או
נורמה היא פונקציה המקיימת את שלושת התכונות הבאות.
לכל ולכל מתקיים כי:
- אי שליליות וכן אם ורק אם
- כפל בסקלר
- אי שיוויון המשולש
נורמה מושרית
יהי מרחב מכפלה פנימית מעל או .
הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה המוגדרת ע"י הנוסחא:
שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -
מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי ולכן מותר להוציא שורש.
הנורמה המושרית היא אכן נורמה
נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.
תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי ממש לפי הגדרת פונקצית השורש. כמו כן, נקבל כי אם ורק אם אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית,
כעת, יהי סקלר אזי
לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.
צריך להוכיח כי:
כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול:
נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה:
כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא:
נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר:
מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי
ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי
מכאן נובע כי
כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי
אם או התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס.
אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים באי שיוויון העזר ונקבל:
ולכן
וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך:
אי שיוויון קושי-שוורץ
בהנתן מרחב מכפלה פנימית יחד עם הנורמה המושרית, לכל מתקיים כי
הוכחה
נציב את הוקטורים באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל:
ולכן
כלומר
כעת אם אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.
מכפלה פנימית מושרית
- האם כל נורמה היא נורמה מושרית?
- האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?
לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.
פרק 2 - המרחב הניצב
- משפט הפירוק הניצב
- בא"נ והיטלים
- אי שיוויון בסל
- משפט פיתגורס
- גרם שמידט