הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏א)
 
(15 גרסאות ביניים של 4 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 +
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
 
=המבחן של פרופ' זלצמן=
 
=המבחן של פרופ' זלצמן=
 
==שאלה 1==
 
==שאלה 1==
−
הוכח/הפרך: הסדרה a_n מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה a_n_k יש תת סדרה מתכנסת
+
הוכח/הפרך: הסדרה <math>a_n</math> מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה <math>a_{n_k}</math> יש-תת סדרה מתכנסת.
  
−
===הפרכה===
+
;הפרכה
−
כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיוון שכל תת סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו ויירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת. (למשל <math>a_n=(-1)^n</math>)
+
כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל <math>a_n=(-1)^n</math>)
  
 
==שאלה 2==
 
==שאלה 2==
שורה 10: שורה 11:
  
 
===א===
 
===א===
−
<math>\sum (-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math>
+
<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math>
  
−
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבל:
+
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:
  
−
<math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{2^{n^2}}{n!}</math>
+
<math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!}</math>
  
−
קל לראות ש<math>b_{n+1}/b_n \rightarrow\infty</math> ולכן <math>b_n\rightarrow\infty</math>. ולכן <math>|a_n|\rightarrow\infty</math> ולכן הטור '''מתבדר לחלוטין'''
+
קל לראות כי <math>\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty</math> ולכן <math>b_n\to\infty</math> . לכן <math>|a_n|\to\infty</math> ולכן הטור '''מתבדר לחלוטין'''.
  
  
 
===ב===
 
===ב===
−
<math>\sum (-1)^n\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2}</math>
+
<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}</math>
  
−
נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות ש
+
נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי
  
−
<math>\frac{\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2}}{\frac{1}{n(\log n)^2}}\rightarrow 1</math>
+
<math>\dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1</math>
  
−
ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת לאפס):
+
ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0):
  
−
<math>\frac{2^n}{2^n(\log{2^n})^2}=\frac{1}{n^2(\log{2})^2}</math>
+
<math>\dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)}</math>
  
 
זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור '''מתכנס בהחלט'''.
 
זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור '''מתכנס בהחלט'''.
  
 
===ג===
 
===ג===
−
<math>\sum (-1)^n\frac{\pi^n}{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}</math>
+
<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!}</math>
  
−
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל <math>|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\pi\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}\rightarrow \frac{\pi}{4}<1</math>
+
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל
 +
 
 +
<math>\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}<1</math>
  
 
ולכן הטור '''מתכנס בהחלט'''.
 
ולכן הטור '''מתכנס בהחלט'''.
  
 
==שאלה 4==
 
==שאלה 4==
−
זהה וסווג את נקודות אי הרציפות
+
זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.
  
 
===א===
 
===א===
−
<math>e^{-\frac{1}{x^3}}</math>
+
<math>e^{-\frac1{x^3}}</math>
  
−
נקודת אי הרציפות היא אפס. הגבול משמאל הינו אינסוף ולכן זה מין שני.
+
נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו <math>\infty</math> ולכן זה '''מין שני'''.
  
 
===ב===
 
===ב===
−
<math>\frac{sin(x^2)}{|sin(x^2)|}</math>
+
<math>\frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|}</math>
  
−
כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת אחד כאשר <math>sin(x^2)</math> חיובי, ומינוס אחד כאשר הוא שלילי, באפס היא אינה מוגדרת ולכן זו נקודת אי רציפות. לכן סה"כ נקודות אי הרציפות הינן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k> 0</math> ואפס. פרט לאפס, הן כולן מין ראשון מכיוון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי הרציפות או משמאלה).  
+
כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר <math>\sin(x^2)</math> חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k\ge0</math> . פרט ל-0, הן כולן '''מין ראשון''' מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).  
  
−
באפס, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי רציפות סליקה.
+
ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות '''סליקה'''.
  
 
===ג===
 
===ג===
 
<math>f'(x)</math> כאשר <math>f(x)=|x^2-1|</math>
 
<math>f'(x)</math> כאשר <math>f(x)=|x^2-1|</math>
  
−
נחלק לתחומים. בתחום <math>x>1,x<-1</math> מתקיים <math>f(x)=x^2-</math> ולכן <math>f'(x)=2x</math>
+
נחלק לתחומים. בתחום <math>x>1\ ,\ x<-1</math> מתקיים <math>f(x)=x^2-1</math> ולכן <math>f'(x)=2x</math> .
  
−
בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math>.
+
בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math> .
  
−
קל איפוא לראות שבנקודות פלוס מינוס אחד יש אי רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת לשתים מצד אחד ומינוס שתים מצד שני).
+
קל אפוא לראות שבנקודות <math>\pm1</math> יש אי-רציפות מ'''מין ראשון''' (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני).
  
 
==שאלה 5==
 
==שאלה 5==
שורה 67: שורה 70:
  
 
===א===
 
===א===
−
<math>xsin(\frac{1}{x^2})</math> בתחום <math>(0,\infty)</math>.
+
<math>x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> .
  
 
קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:
 
קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:
  
−
<math>\lim_{x\rightarrow 0} xsin(\frac{1}{x^2}) =0</math> אפס כפול חסומה
+
<math>\lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0</math> אפס כפול חסומה
  
−
<math>\lim_{x\rightarrow \infty} xsin(\frac{1}{x^2}) = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x}\cdot\frac{sin(\frac{1}{x^2})}{\frac{1}{x^2}}=0\cdot 1=0</math>
+
<math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0</math>
  
−
שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''
+
שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.
  
 
===ב===
 
===ב===
−
<math>\frac{1}{1+logx}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math>
+
<math>\dfrac1{1+\ln(x)}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> .
  
 
קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם.
 
קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם.
  
 
===ג===
 
===ג===
−
<math>\sqrt{|cos(\pi x)|}</math> בתחום <math>(-\infty,\infty)</math>
+
<math>\sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|}</math> בתחום <math>(-\infty,\infty)</math> .
 +
 
 +
זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: <math>\sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x</math> ולכן '''רציפה במ"ש''' בתחום.
 +
 
 +
==שאלה 7==
 +
חשב את הקירוב הלינארי של <math>h=g^{-1}\circ f^{-1}</math> ב- <math>x_0=2</math> .
 +
 
 +
הקירוב הלינארי של <math>h(x)</math> באזור הנקודה <math>x_0</math> , הנו <math>h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)</math>
 +
 
 +
במקרה שלנו
 +
 
 +
<math>h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]=
 +
\frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}</math>
 +
 
 +
ולכן סה"כ <math>h(x)=7-\frac{x-2}{7}</math>
 +
 
 +
=המבחן של דר' שמחה הורוביץ=
 +
==שאלה 3==
 +
תהי <math>g</math> פונקציה רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> . נניח שקיים <math>\varepsilon>0</math> כך שמתקיים <math>g(x)>\varepsilon</math> לכל <math>x\in(0,1)</math> . הוכח שהפונקציה <math>\dfrac1g</math> רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> .
 +
 
 +
;הוכחה
 +
לפי הנתון, לכל <math>\alpha>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|<\alpha\cdot\varepsilon^2</math> .
 +
 
 +
לכן, מתקיים <math>\left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|<\dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha</math>
 +
 
 +
כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
 +
 
 +
==שאלה 6==
 +
תהי <math>f</math> פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- <math>f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>f^{(5)}(0)>0</math> . עוד נניח שלכל <math>x\ne 0</math> מתקיים <math>f'(x)\ne 0</math> . הוכיחו שלכל <math>x>0</math> מתקיים <math>f(x)>0</math> .
 +
 
 +
;הוכחה
 +
מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה <math>x=0</math> שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה <math>\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5</math> כאשר <math>0<c<x</math> .
 +
 
 +
מכיון ש- <math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה <math>f^{(5)}>0</math> . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים <math>f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math> .
  
−
זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: <math>\sqrt{x},|x|,cos(x),\pi x</math> ולכן '''רציפה במ"ש''' בתחום.
+
נותר להוכיח כי <math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי <math>f(x)\le0</math> אזי לפי משפט ערך הביניים <math>f(x)=0</math> עבור <math>x>0</math> כלשהוא. אבל גם <math>f(0)=0</math> ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.

גרסה אחרונה מ־15:44, 12 בפברואר 2017

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

הוכח/הפרך: הסדרה a_n מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה a_{n_k} יש-תת סדרה מתכנסת.

הפרכה

כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל a_n=(-1)^n)

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:

b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!}

קל לראות כי \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty ולכן b_n\to\infty . לכן |a_n|\to\infty ולכן הטור מתבדר לחלוטין.


ב

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}

נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי

\dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1

ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0):

\dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)}

זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

ג

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!}

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל

\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}<1

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 4

זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.

א

e^{-\frac1{x^3}}

נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו \infty ולכן זה מין שני.

ב

\frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|}

כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר \sin(x^2) חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן \pm \sqrt{\pi k} כאשר k\ge0 . פרט ל-0, הן כולן מין ראשון מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).

ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות סליקה.

ג

f'(x) כאשר f(x)=|x^2-1|

נחלק לתחומים. בתחום x>1\ ,\ x<-1 מתקיים f(x)=x^2-1 ולכן f'(x)=2x .

בתחום -1<x<1 מתקיים f(x)=1-x^2 ולכן f'(x)=-2x .

קל אפוא לראות שבנקודות \pm1 יש אי-רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני).

שאלה 5

אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?

א

x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right) בתחום (0,\infty) .

קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:

\lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0 אפס כפול חסומה

\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0

שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ב

\dfrac1{1+\ln(x)} בתחום (0,\infty) .

קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה e^{-1} שנמצאת בתחום ולכן אינה רציפה במ"ש שם.

ג

\sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|} בתחום (-\infty,\infty) .

זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: \sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x ולכן רציפה במ"ש בתחום.

שאלה 7

חשב את הקירוב הלינארי של h=g^{-1}\circ f^{-1} ב- x_0=2 .

הקירוב הלינארי של h(x) באזור הנקודה x_0 , הנו h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)

במקרה שלנו

h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]= \frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}

ולכן סה"כ h(x)=7-\frac{x-2}{7}

המבחן של דר' שמחה הורוביץ

שאלה 3

תהי g פונקציה רציפה במ"ש בקטע (0,1) . נניח שקיים \varepsilon>0 כך שמתקיים g(x)>\varepsilon לכל x\in(0,1) . הוכח שהפונקציה \dfrac1g רציפה במ"ש בקטע (0,1) .

הוכחה

לפי הנתון, לכל \alpha>0 קיים \delta>0 כך שאם |x_1-x_2|<\delta מתקיים \Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|<\alpha\cdot\varepsilon^2 .

לכן, מתקיים \left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|<\dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha

כפי שרצינו. \blacksquare

שאלה 6

תהי f פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0 וגם f^{(5)}(0)>0 . עוד נניח שלכל x\ne 0 מתקיים f'(x)\ne 0 . הוכיחו שלכל x>0 מתקיים f(x)>0 .

הוכחה

מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה x=0 שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה \dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5 כאשר 0<c<x .

מכיון ש- f^{(5)}(0)>0 והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה f^{(5)}>0 . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0 .

נותר להוכיח כי f(x)>0 עבור x>0 גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי f(x)\le0 אזי לפי משפט ערך הביניים f(x)=0 עבור x>0 כלשהוא. אבל גם f(0)=0 ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_סמסטר_א%27_תשעא/_פתרון_מועד_א%27&oldid=70511