הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11"
מ (←משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}}) |
מ (←הוכחה) |
||
(6 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 5: | שורה 5: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | <math>\ | + | <math>\implies</math>: נתונה f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וב-<math>[b,c]</math>. נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math> וחלוקה Q של <math>[b,c]</math> ונגדיר <math>R=P\cup Q</math> (כלומר R חלוקה של <math>[a,c]</math>). לכן מתקיים <math>\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)</math>. נשאיף <math>\lambda(P),\lambda(Q)\to0</math>. לפי הנתון <math>\overline S(f,P)\to\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\overline S(f,Q)\to\int\limits_b^c f</math>, לכן <math>\overline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. באותו אופן נקבל <math>\underline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. הראנו ש-<math>\overline S(f,R)-\underline S(f,R)\to0</math> ולכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,c]</math>. ע"פ משפט 4 נסיק <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. |
− | <math>\ | + | <math>\Longleftarrow</math>: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב <math>\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)</math> ו-<math>\underline S(f,R)=\underline S(f,P)+\underline S(f,Q)</math>. נחסיר ונקבל: <math>\overline S(f,R)-\underline S(f,R)=\overline S(f,P)-\underline S(f,P)+\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)</math>. כעת, אם <math>\varepsilon>0</math>, האינטגרביליות של f על <math>[a,c]</math> גוררת שעבור <math>\lambda(P)</math> ו-<math>\lambda(Q)</math> מספיק קטנים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P),\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)<\varepsilon</math>. קיום חלוקה P כזאת לכל <math>\varepsilon>0</math> מוכיח ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וקיום חלוקה Q - ב-<math>[b,c]</math>. השיוויון <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> נובע מהחלק הקודם. {{משל}} |
===הכללה=== | ===הכללה=== | ||
שורה 19: | שורה 19: | ||
# <math>\int\limits_a^a f=0</math> | # <math>\int\limits_a^a f=0</math> | ||
# אם <math>a<b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> נרשום <math>\int\limits_b^a f=-\int\limits_a^b f</math> | # אם <math>a<b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> נרשום <math>\int\limits_b^a f=-\int\limits_a^b f</math> | ||
− | (אלה מוסכמות ולא | + | (אלה מוסכמות ולא משפטים כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, <math>\int\limits_b^a</math> לא מוגדר עבור <math>a\le b</math>) |
עם מוסכמות אלה יתקיים: | עם מוסכמות אלה יתקיים: | ||
− | <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם <math>c<a<b</math> אז לפי משפט 8 <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. נבדוק: <math>\int\ | + | <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם <math>c<a<b</math> אז לפי משפט 8 <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. נבדוק: <math>\int\limits_c^a f=-\int\limits_a^c f\ \and\ \int\limits_c^b f=-\int\limits_b^c f</math> ולכן <math>-\int\limits_b^c f=-\int\limits_a^c f+\int\limits_a^b f</math>, מה שגורר <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. |
==משפט 9== | ==משפט 9== | ||
− | תהי | + | תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. עוד נניח ש-f רציפה ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>. | + | יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>. לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math>, אזי ממשפט 6 היא אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math>, לכן נוכל לבחור חלוקה P של <math>[c,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2</math>. כעת נגדיר חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ע"י <math>Q=\{a\}\cup P</math>. עוד נגדיר <math>M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}</math> וכן <math>m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}</math>. נובע כי {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)&=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\\&<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2\\&=\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2\\&=\varepsilon\end{align}</math>}}נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math> | + | |
===מסקנה 1=== | ===מסקנה 1=== | ||
שורה 38: | שורה 34: | ||
===מסקנה 2=== | ===מסקנה 2=== | ||
− | נניח ש-f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות <math>x_0,x_1,\dots,x_n</math> כך ש-<math>a\le x_0<x_1<\dots<x_n\le b</math> אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | + | נניח ש-f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות <math>x_0,x_1,\dots,x_n</math> כך ש-<math>a\le x_0<x_1<\dots<x_n\le b</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math> ורציפה ב-<math>(x_{k-1},x_k)</math>. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math>. נסתמך על | + | עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math> ורציפה ב-<math>(x_{k-1},x_k)</math>. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math>. נסתמך על ההכללה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]=\bigcup_{k=1}^n [x_{k-1},x_k]</math>. {{משל}} |
+ | [[קובץ:פונקציה רציפה למקוטעין.png|ימין|ממוזער|300px|דוגמה לפונקציה רציפה למקוטעין]] | ||
'''הגדרה:''' אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון. | '''הגדרה:''' אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון. | ||
− | |||
− | |||
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב-<math>[a,b]</math> אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אז היא אינטגרבילית שם. | נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב-<math>[a,b]</math> אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אז היא אינטגרבילית שם. | ||
שורה 54: | שורה 49: | ||
=האינטגרל לפי רימן= | =האינטגרל לפי רימן= | ||
==הקדמה - הגישה של רימן== | ==הקדמה - הגישה של רימן== | ||
− | נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נבחר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נבחר | + | [[קובץ:האינטגרל לפי רימן.png|שמאל|400px|ממוזער|ניתן לראות שסכום שטחי המלבנים הנוצרים מסכום רימן שווה בקירוב לשטח שמתחת לגרף.]] |
− | + | נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נבחר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נבחר לכל k מספר <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ונכנה כ-{{ltr|P'}} את התת חלוקה <math>a\le c_1<c_2<\dots<c_n\le b</math>. ז"א <math>a=x_0\le c_1\le x_1\le c_2\le\dots\le c_n\le x_n=b</math>. בהתאם לכך נבנה סכום רימן <math>S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math> כאשר לכל k מתקיים <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math>. | |
− | + | ||
− | <math>S(f,P,P')</math> מקרב את השטח שמתחת לגרף, | + | <math>S(f,P,P')</math> מקרב את השטח שמתחת לגרף, אך לא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לו. |
נעיר שעל חלוקה אחת P של <math>[a,b]</math> אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math>. עם זאת, יתקיים תמיד <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'} S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'} S(f,P,P')</math>. | נעיר שעל חלוקה אחת P של <math>[a,b]</math> אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math>. עם זאת, יתקיים תמיד <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'} S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'} S(f,P,P')</math>. | ||
− | '''הגדרת רימן:''' תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> כל סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math> שואפים לגבול אחד, שיסומן <math>\int\limits_a^b f</math>. | + | '''הגדרת האינטגרל לפי רימן:''' תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> כל סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math> שואפים לגבול אחד, שיסומן <math>\int\limits_a^b f</math>. |
==משפט 10== | ==משפט 10== | ||
שורה 69: | שורה 63: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של <math>[a,b]</math>: | + | תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה {{ltr|P'}} של <math>[a,b]</math>: |
<math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. כעת נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, <math>\overline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> וכן <math>\underline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math> קיים ושווה ל-<math>{\int\limits_D}_a^b f</math>. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')={\int\limits_D}_a^b f</math>. | <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. כעת נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, <math>\overline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> וכן <math>\underline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math> קיים ושווה ל-<math>{\int\limits_D}_a^b f</math>. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')={\int\limits_D}_a^b f</math>. | ||
− | לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math>. אם כן הוא גם שווה ל-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו <math>{\int\limits_R}_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f</math>. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם | + | לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math>. אם כן הוא גם שווה ל-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו <math>{\int\limits_R}_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f</math>. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם הוכחנו ש-<math>{\int\limits_R}_a^b f={\int\limits_D}_a^b f</math>. {{משל}} |
==משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}}== | ==משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}}== | ||
− | נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-[a,b], ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי: | + | נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-<math>[a,b]</math>, ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי: |
− | # {{הערה|(לינאריות):}} <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-[a,b] ומתקיים <math>\int\limits_a^ | + | # {{הערה|(לינאריות):}} <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. |
# {{הערה|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math> | # {{הערה|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math> | ||
\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | ||
− | # {{הערה|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} | + | # {{הערה|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} |f| אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וגם <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. |
# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>|f(x)|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>. | # אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>|f(x)|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>. | ||
# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>. | # אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>. | ||
שורה 86: | שורה 80: | ||
#<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}} | #<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}} | ||
− | {{ | + | {{המשך סיכום|תאריך=1.3.11}} |
<ol start="2"> | <ol start="2"> | ||
<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> | <li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> | ||
− | <li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\ | + | <li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le\sup_{x,y\in[a,b]}|f(x)-f(y)|=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> ואז <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\end{align}</math>}} |
כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0</math> ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right|\le\sum_{k=1}^n |f(c_k)|\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> ונקבל ש-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b|f|</math>. {{משל}}</li> | כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0</math> ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right|\le\sum_{k=1}^n |f(c_k)|\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> ונקבל ש-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b|f|</math>. {{משל}}</li> | ||
<li>נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> כדי להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. אם נתון <math>|f(x)|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)</math>. {{משל}}</li> | <li>נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> כדי להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. אם נתון <math>|f(x)|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)</math>. {{משל}}</li> | ||
<li>לפי הנתון <math>M\le f(x)\le M</math>. לכן, עפ"י סעיף 4 <math>M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}</li> | <li>לפי הנתון <math>M\le f(x)\le M</math>. לכן, עפ"י סעיף 4 <math>M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}</li> | ||
</ol> | </ol> |
גרסה אחרונה מ־20:32, 29 ביולי 2012
תוכן עניינים
האינטגרל לפי דרבו (המשך)
משפט 8
נניח ש-f מוגדרת וחסומה בקטע ונניח ש-. אזי f אינטגרבילית ב- וב- אם"ם היא אינטגרבילית ב-, ואם כן מתקיים .
הוכחה
: נתונה f אינטגרבילית ב- וב-. נקח חלוקה כלשהי P של וחלוקה Q של ונגדיר (כלומר R חלוקה של ). לכן מתקיים . נשאיף . לפי הנתון וגם , לכן . באותו אופן נקבל . הראנו ש- ולכן f אינטגרבילית ב-. ע"פ משפט 4 נסיק .
: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב ו-. נחסיר ונקבל: . כעת, אם , האינטגרביליות של f על גוררת שעבור ו- מספיק קטנים . קיום חלוקה P כזאת לכל מוכיח ש-f אינטגרבילית ב- וקיום חלוקה Q - ב-. השיוויון נובע מהחלק הקודם.
הכללה
אם ואם f אינטגרבילית ב- אז . ההוכחה באינדוקציה.
מוסכמות:
- אם ואם f אינטגרבילית ב- נרשום
(אלה מוסכמות ולא משפטים כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, לא מוגדר עבור )
עם מוסכמות אלה יתקיים:
באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם אז לפי משפט 8 . נבדוק: ולכן , מה שגורר .
משפט 9
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. עוד נניח ש-f רציפה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
יהי נתון. נגדיר . לפי הנתון f רציפה ב-, אזי ממשפט 6 היא אינטגרבילית ב-, לכן נוכל לבחור חלוקה P של כך ש-. כעת נגדיר חלוקה Q של ע"י . עוד נגדיר וכן . נובע כי נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-.מסקנה 1
המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-.
מסקנה 2
נניח ש-f חסומה ב- ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות כך ש-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב- ורציפה ב-. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-. נסתמך על ההכללה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-.
הגדרה: אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב- אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב- אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב- אז היא אינטגרבילית שם.
האינטגרל לפי רימן
הקדמה - הגישה של רימן
נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-. נבחר חלוקה P של : . עוד נבחר לכל k מספר ונכנה כ-P' את התת חלוקה . ז"א . בהתאם לכך נבנה סכום רימן כאשר לכל k מתקיים .
מקרב את השטח שמתחת לגרף, אך לא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לו.
נעיר שעל חלוקה אחת P של אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן . עם זאת, יתקיים תמיד . יתר על כן, ו-.
הגדרת האינטגרל לפי רימן: תהי f מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית ב- אם כאשר כל סכומי רימן שואפים לגבול אחד, שיסומן .
משפט 10
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז (לפי רימן) (לפי דרבו).
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של : . כעת נשאיף . כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, וכן לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש- קיים ושווה ל-. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים .
לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים . אם כן הוא גם שווה ל-,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו . עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם הוכחנו ש-.
משפט 11 (תכונות האינטגרל)
נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-, ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
- (לינאריות): אינטגרבילית ב- ומתקיים .
- (מונוטוניות): אם לכל אז . (חיוביות): בפרט, אם אז .
- (הכללה לאי-שיוויון המשולש): |f| אינטגרבילית ב- וגם .
- אם ב- אז ואם בקטע זה אז אז .
- אם (פונקציה קבועה) אז .
הוכחה
- . נשאיף . כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א . עצם קיום הגבול אומר ש- אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק .
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
- נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: . לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- . נשאיף . סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק .
- נעיר ש- היא בעצם . כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-. לכן . כעת תהי P חלוקה כלשהי של ואז . נעיר שלכל f, היא התנודה של f בקטע ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של כך ש- ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון . לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים . נשאיף ונקבל ש-.
- נתון . לפי משפט 1, לכל חלוקה P של מתקיים . נשאיף את כדי להסיק . אם נתון אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר .
- לפי הנתון . לכן, עפ"י סעיף 4 ויש שיוויון.