גרסה אחרונה מ־11:28, 14 במאי 2011

תוכן עניינים

1 שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים
- 1.1 דוגמה 1
2 האינטגרל הלא מסויים

שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים

המטרה: לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).

דוגמה 1

חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:

$\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx$
פתרון: נשים לב להגדרת $|x-3|$ לפיה האינטגרל שווה ל- $\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx$ . גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - $\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5$ ועבור II - $\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2$ ולכן השטח הכולל הוא 6.5. $\blacksquare$
הערה: אם התחום היה, למשל, $[4,5]$ היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
$\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx$ . פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן $y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2$ . קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. $\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2$ $\blacksquare$
$\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx$ , כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן $y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2=0$ . זוהי אליפסה שמרכזה ב- $(0,0)$ . נסמן $a=2,\ b=\sqrt2$ ולפי נוסחה לשטח אליפסה ( $\pi a b$ ) נקבל $2\sqrt2\pi$ . האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר $\sqrt2\pi$ . $\blacksquare$

האינטגרל הלא מסויים

המטרה: להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: $F(x)=\int f(x)\mathrm dx$ ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, $\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x$ ולכן $\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c$

דוגמה 1 (שיטת פירוק)

חשב $\int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx$ .

פתרון

זה שווה ל-

\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}

$\blacksquare$

באופן כללי: נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב- $\mathbb R$ ). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: $\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx$ .

דוגמה 2

חשב $I=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}$ .

פתרון

דרך א: מתקיים

I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}

. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את דרך ב:

\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}

$\blacksquare$

ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.

שיטת ההצבה: $\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c$

דוגמה 3

חשב $\int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx$ .

פתרון

נציב $y=\sin(x)$ ולכן $\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx$ . אזי האינטגרל הוא: $\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c$ . $\blacksquare$

אינטגרציה בחלקים: $\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx$ .

דוגמה 4

חשב את האינטגרלים הבאים:

$\int xe^x\mathrm dx$
פתרון

לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר $f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x$ . לכן האינטגרל שווה ל- $xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c$ . $\blacksquare$
מסקנה: לכל פולינום ממעלה $n\in\mathbb N$ כפול פונקציה g שמקיימת (עבור $m\in\mathbb N$ כלשהו) $g^{(m)}(x)=g(x)$ נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון
$\int\ln(x)\mathrm dx$
פתרון
נסמן $f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x$ ואז $x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c$ . $\blacksquare$
$\int\sin(x)e^x\mathrm dx$
פתרון

$f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x$ ואז $\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx$ . ולפי אינטגרציה שנייה: $\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx$ ולכן $\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c$ . $\blacksquare$
מסקנה: במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.

דוגמה 5

$\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx$ .

פתרון

בשיטת ההצבה, $y=3^x\implies\mathrm dy=\ln(3)\cdot3^x\mathrm dx$ והאינטגרל הנ"ל שווה ל- $\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c$ . $\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-==שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים==
+=שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים=
 '''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).
@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:
-# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5.
+# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
- הערה: אם התחום היה <math>[4,5]</math> היינו מחשבים לפי שטח טרפז.
+# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2</math> {{משל}}
-# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2+c</math>
+# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2=0</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}}
-# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math> והאינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>.
 =האינטגרל הלא מסויים=
-'''המטרה:''' להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה. <math>F(x)\int f(x)\mathrm dx</math> ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, <math>\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x</math> ולכן <math>\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c</math>
+'''המטרה:''' להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: <math>F(x)=\int f(x)\mathrm dx</math> ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, <math>\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x</math> ולכן <math>\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c</math>
 ==דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}==
 חשב <math>\int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx</math>.
 ===פתרון===
-זה שווה ל-<math>2\int\frac{x^4+1-1}{1+x^2}\mathrm dx=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c</math>
+זה שווה ל-{{left|<math>\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}</math>}}
+{{משל}}
+'''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx</math>.
-באופן טכני נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפס להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx</math>
+==דוגמה 2==
+חשב <math>I=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}</math>.
+===פתרון===
+'''דרך א:''' מתקיים <math>I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}</math>. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את '''דרך ב:''' {{left|<math>\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}</math>}}
+{{משל}}
-===דוגמה 2===
+ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.
-<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}</math>.
-דרך א: האינטגרל הוא <math>4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}</math>. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את
-דרך ב: <math>\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}=\tan(x)-\cot(x)+c</math>
-בדיקה: אפשר לגזור על הפונקציה הקדומה ולבדוק אם הגענו לתשובה הנכונה.
 ----
@@ שורה 32: / שורה 32: @@
 '''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>
-===דוגמה 3===
+==דוגמה 3==
 חשב <math>\int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx</math>.
-====פתרון====
+===פתרון===
-נציב <math>y=\sin(x)</math> ולכן <math>\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math>. נחזור לתרגיל: <math>\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c</math>
+נציב <math>y=\sin(x)</math> ולכן <math>\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math>. אזי האינטגרל הוא: <math>\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c</math>. {{משל}}
-באופן כללי: בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math>m+n</math> אי זוגי. אם זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות. לדוגמה:
+<!--
-<math>\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}2</math>
+'''באופן כללי:''' בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math>n</math> אי זוגי, באופן הבא: נציב <math>y=\sin^\frac{n+1}2(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac{n+1}2\sin^\frac{n-1}2(x)\cos(x)\mathrm dx</math> ולכן <math>\sin^n(x)\cos^m(x)\mathrm dx=\frac2{n+1}\cos^{m-1}(x)\cdot\frac{n+1}2\cdot\sin^\frac{n+1}2(x)\sin^\frac{n-1}2(x)\cos(x)\mathrm dx=\frac2{n+1}y</math>.
-'''אינטגרציה בחלקים:''' הכלל <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>
+אם <math>n+m</math> זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות, כמו
+<math>\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}2</math>.
+-->
-===דוגמה 4===
+----
+'''אינטגרציה בחלקים:''' <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.
+==דוגמה 4==
 חשב את האינטגרלים הבאים:
-# <math>\int xe^x\mathrm dx</math>. פתרון: לפי אינטגרציה בחלקים, <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. '''מסקנה:''' כל פולינום ממעלה <math>n\in\mathdd N</math> כפול פונקציה שמקיימת (עבור <math>m\in\mathdd N</math>) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון.
+<ol>
-# <math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>. פתרון: נסמן <math>f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x</math> ואז <math>x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c</math>.
+<li><math>\int xe^x\mathrm dx</math>
-# <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> פתרון: <math>f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x</math> ואז <math>\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx</math>. ולפי אינטגרציה שנייה: <math>\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> ולכן <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c</math>.
+===פתרון===
+לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. {{משל}}
+'''מסקנה:''' לכל פולינום ממעלה <math>n\in\mathbb N</math> כפול פונקציה g שמקיימת (עבור <math>m\in\mathbb N</math> כלשהו) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון<!--: {{left|<math>\begin{align}\int g(x)\sum_{k=0}^n a_kx^k\mathrm dx&=g^{(m-1)}(x)\sum_{k=0}^n a_kx^k-\int g^{(m-1)}(x)\sum_{k=1}^n a_k\cdot kx^{k-1}\mathrm dx\\&=\dots\\&=\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i g^{(m-i-1)}(x)\sum_{k=i}^n a_k \frac{k!}{(k-i)!}x^{k-i}+(-1)^n\int g^{(m-n)}(x)\mathrm dx\\&=\sum_{i=0}^n(-1)^i g^{(m-i-1)}(x)\sum_{k=i}^n a_k \frac{k!}{(k-i)!}x^{k-i}+c\end{align}</math>}}--></li>
+<li><math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>
+===פתרון===
+נסמן <math>f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x</math> ואז <math>x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c</math>. {{משל}}</li>
+<li><math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math>
+===פתרון===
+<math>f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x</math> ואז <math>\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx</math>. ולפי אינטגרציה שנייה: <math>\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> ולכן <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c</math>. {{משל}}
-מסקנה: במקרה של f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, ונשתמש בשיטה זו.
+'''מסקנה:''' במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.</li>
+</ol>
 ==דוגמה 5==
 <math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>.
 ===פתרון===
-בשיטת ההצבה, <math>y=3^x</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>
+בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=\ln(3)\cdot3^x\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}}

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11"

גרסה אחרונה מ־11:28, 14 במאי 2011

תוכן עניינים

שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים

דוגמה 1

האינטגרל הלא מסויים

דוגמה 1 (שיטת פירוק)

פתרון

דוגמה 2

פתרון

דוגמה 3

פתרון

דוגמה 4

פתרון

פתרון

פתרון

דוגמה 5

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים