הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
מ (←פתרון: תיקון טעות) |
|||
שורה 70: | שורה 70: | ||
<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>. | <math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy= | + | בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=\ln(3)\cdot3^x\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}} |
גרסה מ־12:29, 11 במרץ 2011
תוכן עניינים
שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים
המטרה: לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).
דוגמה 1
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:
-
פתרון: נשים לב להגדרת לפיה האינטגרל שווה ל-. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - ועבור II - ולכן השטח הכולל הוא 6.5.
הערה: אם התחום היה, למשל, היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז. - . פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן . קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל.
- , כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן . זוהי אליפסה שמרכזה ב-. נסמן ולפי נוסחה לשטח אליפסה () נקבל . האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר .
האינטגרל הלא מסויים
המטרה: להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, ולכן
דוגמה 1 (שיטת פירוק)
חשב .
פתרון
זה שווה ל-
באופן כללי: נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפס להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: .
דוגמה 2
חשב .
פתרון
דרך א: מתקיים . זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את דרך ב:
ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.
שיטת ההצבה:
דוגמה 3
חשב .
פתרון
נציב ולכן . אזי האינטגרל הוא: .
אינטגרציה בחלקים: .
דוגמה 4
חשב את האינטגרלים הבאים:
-
פתרון
לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר . לכן האינטגרל שווה ל-.
-
פתרון
נסמן ואז . -
פתרון
ואז . ולפי אינטגרציה שנייה: ולכן .
מסקנה: במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.
דוגמה 5
.
פתרון
בשיטת ההצבה, והאינטגרל הנ"ל שווה ל-.