הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
מ (←שברים חלקיים) |
מ (←דוגמאות) |
||
שורה 4: | שורה 4: | ||
# <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln|t|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+x^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} | # <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln|t|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+x^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} | ||
#<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}} | #<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}} | ||
− | # <math>\int\frac{e^2x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{1+t^2}=\frac12\ln|t|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math> {{משל}} | + | # <math>\int\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{1+t^2}=\frac12\ln|t|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math> {{משל}} |
# <math>\int\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=e^x\implies\mathrm dy=e^x\mathrm dx</math> לקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{y^2}{1+y^2}\mathrm dy\\&=\int\left(\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac1{1+y^2}\right)\mathrm dy\\&=y-\arctan(y)+c\\&=e^x-\arctan\left(e^x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} | # <math>\int\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=e^x\implies\mathrm dy=e^x\mathrm dx</math> לקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{y^2}{1+y^2}\mathrm dy\\&=\int\left(\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac1{1+y^2}\right)\mathrm dy\\&=y-\arctan(y)+c\\&=e^x-\arctan\left(e^x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} | ||
# <math>\int\frac{\mathrm dx}\sqrt{x-x^2}</math>: <math>t=\sqrt{1-x}\implies x=1-t^2\implies\mathrm dx=-2t\mathrm dt</math>. לפיכך {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x\sqrt{1-x}}\\&=\int\frac{-2t\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\&=-2\arcsin(t)+c\\&=-2\arcsin\left(\sqrt{1-x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} | # <math>\int\frac{\mathrm dx}\sqrt{x-x^2}</math>: <math>t=\sqrt{1-x}\implies x=1-t^2\implies\mathrm dx=-2t\mathrm dt</math>. לפיכך {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x\sqrt{1-x}}\\&=\int\frac{-2t\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\&=-2\arcsin(t)+c\\&=-2\arcsin\left(\sqrt{1-x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} |
גרסה מ־12:00, 18 במרץ 2011
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה
דוגמאות
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-.
- : נציב ולכן
דרך אחרת: , נציב ולכן - : נגדיר ולכן
- : נגדיר ואז
- : נציב לקבל
- : . לפיכך
- : ומכאן נובע
- : אם אז נציב ואז
- נתון קבוע וצריך למצוא נוסחת נסיגה ל- לכל . ברור כי . כעת . לפיכך לכן . למשל, עבור נחשב : וכן . לבסוף:
שברים חלקיים
נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי ( פולינומים). כבר ראינו דוגמה פרטית של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה.
נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית כך ש- ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים: , כאשר קבועים ולמכנה אין שורשים ממשיים (כלומר ). האינטגרציה של השבר הראשון קלה: . לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:
- נציב ואז :נציב ונסמן :כאשר הוא בדיוק אותו שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.
באופן כללי נהפוך את השבר ל-. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש ) נחשב ע"י הצבת , ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל.
עתה נשאר לנו ללמוד את השיטה לפירוק פונקציה נתונה לסכום של שברים חלקיים. נעזר במשפט היסודי של האלגברה: אם אז קיים לו פירוק (כאשר ). חלק מה--ים יכולים להיות ממשיים, אבל בכל אופן מספר השורשים הלא ממשיים יהא זוגי. למשל:כעת, בהינתן האינטגרל כאשר נפרק את ל- ו- כנ"ל, נמצא כנזכר למעלה ונחשב את האינטגרל.
דוגמאות
- . A ו-B מקיימים ונקבל
- : האינטגרנד שווה ל-. נמצא את A,B,C,D: מתקיים .
נציב ואז .
נציב : .
נציב ונקבל .
לבסוף נציב ואז .
לפיכך