הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11"
(יצירת דף עם התוכן "===דוגמאות=== # <math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx</math>. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב <math>t=x^3\...") |
|||
שורה 9: | שורה 9: | ||
# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: <math>V=\pi\int\limits_{-r}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3</math>. | # נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: <math>V=\pi\int\limits_{-r}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3</math>. | ||
# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא <math>\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3</math>, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. | # נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא <math>\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3</math>, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. | ||
− | # נגדיר ממוצע של פונקציה רציפה: | + | # תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר לכל k <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}</math>. נרשום את הממוצע של f בנקודות החלוקה. הוא <math>\frac1n\sum{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת: אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע. |
+ | # אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורת הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>P_n</math> <math>L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>. דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>. גרף (5). כאשר ראינו ש-<math>L(P)=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2} (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k</math> (ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כזה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> והשערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת <math>P'</math> של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(P')<\frac\varepsilon2</math>. אם Q עידון של <math>P'</math> אז <math>L(P')\le L(Q)\le L</math> ולכן <math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'^2(x)}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנו על P <math>|I-S|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של <math>P'</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>|I-L|=|I-S+S_L|=|I-S+L(P)-L|\le|I-S|+|L(P)-L|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> לכן הם שווים. {{משל}} |
גרסה מ־15:00, 22 במרץ 2011
דוגמאות
- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx
. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב . לכן . דרך ב - נחליף את הגבולות בדרך: ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3
- נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. . לכן השטח הוא . נציב ... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה היינו צריכים לבחור כך ש-, אבל יכולנו לבחור כי אז , ועבור יכולנו לבחור . אם כן היינו מוצאים . הטעות נובעת מכך שקבענו ש-, מה שנכון רק כאשר . הטווח של האינטגרציה היה , שכולל תחומים בהם . בתחומים אלה צריך לבחור ולחלק את הקטע לתחומים שונים לפי הסימן של .
יישומים של אינטגרציה
- אם בקטע מתקיים כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא .
- נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - . כעת נניח ש- רציפה ב- ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של , . תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום ומינימום בקטע זה. נסמן ב- הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים . יוצא שהנפח בסה"כ הוא ומתקיים . נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק ובצד שמאל . ז"א לכל חלוקה P . נשאיף וכיוון ש-f רציפה גם רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול .
דוגמאות
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: .
- נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) . לפי זה הנפח הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3
, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
- תהא f מוגדרת ורציפה ב- ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל נגדיר חלוקה של הקטע לקטעים שווים . כאשר לכל k עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}
. נרשום את הממוצע של f בנקודות החלוקה. הוא . לפי בחירת , לכל k מתקיים ונובע: (כאשר הוא סכום רימן). נשאיף ומכיוון שבמקרה כזה מצאנו שהממוצע של f שואף ל-. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת: אם רציפה אז הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.
- אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב- נעשה חלוקה של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות , כאשר לכל k . קירוב סביר לאורת הגרף נתון ע"י , כאשר הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2
. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל ואפשר להגדיר את L ע"י . לפי זה L תמיד מוגדר . דוגמה: נגדיר . היא רציפה בקטע הסגור אבל אורך הגרף הוא . גרף (5). כאשר ראינו ש-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): L(P)=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2} (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k
(ע"פ משפט לגראנז' יש כזה כך ש- והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה . היה נתון ש- רציפה ולכן גם רציפה וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל והשערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף . נוכיח זאת: נגדיר וכן ונניח . יהי נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת של כך ש-. אם Q עידון של אז ולכן . כעת נתון ש- רציפה ולכן אינטגרבילית ב-. לכן קיים כך שאם P חלוקה כלשהי של כך ש- ואם S סכום רימן כלשהו הבנו על P . לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של כך ש-. כבר למדנו ש- הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ- לכן הם שווים.