הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11"
(←מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}) |
|||
שורה 7: | שורה 7: | ||
לסיכום, עד כה הראינו כי <math>I(f)=I(P)+I(R)</math> ו-<math>T(f)=T(P)+T(R)</math>. לכן השארית <math>I(f)-T(f)</math> היא <math>I(P)-T(P)+I(R)-T(R)</math>, ומכיוון ש-P לינארית <math>I(P)-T(P)=0</math>, כלומר השארית היא <math>I(R)-T(R)</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}</math>}} | לסיכום, עד כה הראינו כי <math>I(f)=I(P)+I(R)</math> ו-<math>T(f)=T(P)+T(R)</math>. לכן השארית <math>I(f)-T(f)</math> היא <math>I(P)-T(P)+I(R)-T(R)</math>, ומכיוון ש-P לינארית <math>I(P)-T(P)=0</math>, כלומר השארית היא <math>I(R)-T(R)</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}</math>}} | ||
− | וכן {{left|<math>\begin{align}T(R)&=\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k | + | וכן {{left|<math>\begin{align}T(R)&=\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\\&=\frac{f''(c)(x_k-x_{k-1})^2}4h^3\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align}</math>}} |
בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>. | בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>. | ||
</li><li>כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_{k+1}} f</math> ע"י <math>\frac | </li><li>כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_{k+1}} f</math> ע"י <math>\frac |
גרסה מ־06:19, 5 במאי 2011
תוכן עניינים
מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)
- שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של : , כאשר . חלוקת הקטע משרה חלוקת הגרף . נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל יש רוחב h ושני גבהים . לכן שטח אותו טרפז הוא , והקירוב לאינטגרל הוא
נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g וכן הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים ונעריך את הטעות בו, השווה ל-. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.
כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב- ונסמן . נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה : , כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.
לסיכום, עד כה הראינו כי ו-. לכן השארית היא , ומכיוון ש-P לינארית , כלומר השארית היא . נחשב: וכןבסה"כ הטעות בקטע חסומה ע"י . יש n קטעים כאלה, לכן .
- כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את בעזרת חלוקה שווה , אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא . למעשה, סימפסון מקרב ע"י
לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי אזי .
הוכחה
נסמן ולכן . ב- נציב ונקבל . - נניח ש-f רציפה בסביבה של וגזירה בסביבה מנוקבת של . עוד נניח שקיים . אזי קיים ושווה ל-L.
הוכחה
לפי ההגדרה, אם f גזירה ב- אזי , ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל- עבור כלשהו בין ל-. לכן, כאשר גם ונקבל .
נחזור לכלל סימפסון.
שלב א
נניח ש- ו- פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש- (כאשר לכל f אינטגרבילית ב- הגדרנו ).
הוכחה
לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות) מתקייםשלב ב
נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטע ונסמן . נעריך את הטעות: . לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3, . לכן . כזכור . נעריך:מכל זה, יוצא ש: .
שלב ג
נוכיח כי לכל k שעבורו מתקיים
הוכחה
באינטגרל נציב כדי לקבל . ניצור פונקציה ונבנה ב- כמו שעשינו בשלב ב:כמו כן, מכיוון ש- מתקיים , ומכל זה נובע .
סיכום
מצאנו שעל כל תת קטע הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י . יש קטעים כאלה, ומכיוון ש- הטעות חסומה ע"י .
הערה: ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י .
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי אזי .