הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"
מתוך Math-Wiki
(המשך יבוא) |
מ (המשך יבוא) |
||
שורה 21: | שורה 21: | ||
:* '''מונוטוניות:''' אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. | :* '''מונוטוניות:''' אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. | ||
::* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | ::* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | ||
− | :* '''הכללה לאי-שיוויון המשולש:''' | + | :* '''הכללה לאי-שיוויון המשולש:''' אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. |
:* אם <math>m\le f(x)\le M</math> בקטע אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. | :* אם <math>m\le f(x)\le M</math> בקטע אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. | ||
::* בפרט, אם <math>|f(x)|\le M</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>. | ::* בפרט, אם <math>|f(x)|\le M</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>. |
גרסה מ־10:05, 17 באפריל 2011
אינטגרלים
- אם ו- קדומות ל- בקטע אז קיים קבוע כך ש-.
- לכל פונקציה מוגדרת וחסומה בקטע מתקיים:
- אם חלוקה של הקטע אזי .
- אם חלוקה של הקטע ו- עידון של כך ש- (כלומר, מתקבלת מ- ע"י הוספת נקודות) אזי וכן .
- לכל שתי חלוקות ו- של הקטע מתקיים .
- אם אינטגרבילית בקטע אז .
- לכל חלוקה מתקיים וגם .
- אינטגרבילית בקטע אם"ם .
- אינטגרבילית בקטע אם"ם לכל קיימת חלוקה של כך ש-.
- אם רציפה בקטע אזי היא אינטגרבילית בו.
- הכללה: אם רציפה ב- אזי היא אינטגרבילית ב-.
- הכללה להכללה: אם רציפה ב- פרט למספר סופי של נקודות אז אינטגרבילית ב-.
- נניח ש-. אזי אינטגרבילית ב- וב- אם"ם היא אינטגרבילית ב-, ואם כן אז .
- הכללה: עבור כנ"ל ו- (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים .
- תהי חלוקה נוספת של כך ש-. אזי . יתר על כן, ו-.
- הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
- אם מוגדרת ומונוטונית בקטע אזי היא אינטגרבילית בו.
- תהיינה אינטגרביליות ב-, ו- קבוע. אזי:
- לינאריות: .
- מונוטוניות: אם אז .
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם אזי .
- הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם אינטגרבילית בקטע אז .
- אם בקטע אז .
- בפרט, אם אז .
- בפרט, אם (פונקציה קבועה) אז .
- המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי אינטגרבילית ב-, ותהי כך ש-.
- מוגדרת ורציפה ב-.
- לכל שבה רציפה, קדומה ל- (כלומר, גזירה ו-).
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: נניח ש- רציפה ב-. אזי .
- אם רציפה בקטע אז יש לה שם פונקציה קדומה.