הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏פתרון)
שורה 40: שורה 40:
 
נציב <math>y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm  dx=2y\mathrm dy</math> לפיכך <math>\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}
 
נציב <math>y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm  dx=2y\mathrm dy</math> לפיכך <math>\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}
  
−
'''מסכנה''': כאשר יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt[n]{ax+b}</math> ננסה להציב <math>y^n=ax+b</math>.</li>
+
'''מסקנה''': כאשר יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt[n]{ax+b}</math> ננסה להציב <math>y^n=ax+b</math>.</li>
 
</ol>
 
</ol>
  
שורה 46: שורה 46:
  
 
אם יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt{c+bx+x^2}</math> כאשר הפולינום אי פריק נציב <math>(y-x)^2=c+bx+x^2</math>. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו <math>\alpha,\ \beta</math> נציב <math>c+bx+x^2=(\beta-y)^2</math> או <math>c+bx+x^2=(\alpha-y)^2</math>.
 
אם יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt{c+bx+x^2}</math> כאשר הפולינום אי פריק נציב <math>(y-x)^2=c+bx+x^2</math>. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו <math>\alpha,\ \beta</math> נציב <math>c+bx+x^2=(\beta-y)^2</math> או <math>c+bx+x^2=(\alpha-y)^2</math>.
 +
 
===דוגמה 4===
 
===דוגמה 4===
 
נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}</math>
 
נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}</math>
 
====פתרון====
 
====פתרון====
 
הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו {{left|<math>\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}</math>}}ואז <math>\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}</math>. {{משל}}
 
הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו {{left|<math>\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}</math>}}ואז <math>\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}</math>. {{משל}}

גרסה מ־18:14, 15 במאי 2011

אינטגרציה (המשך)

עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.

עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.

דוגמה 1

חשבו

  1. \int\frac{\mathrm dx}{x\left(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2}\right)}

    פתרון

    נרשום את האינטגרל כ-\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\left(x^{1/10}\right)^5+\left(x^{1/10}\right)^4\right)}. מתבקשת ההצבה y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9\mathrm dy=\mathrm dx ולכן נקבל \int=\int\frac{10y^9\mathrm dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)} ומכאן קל למצוא את הפתרון. \blacksquare
  2. \int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx

    פתרון

    נגדיר y=(1+x)^{1/6}\implies (6y^5+y)\mathrm dy=\mathrm dx. נקבל \int=\int\frac{\left(y^6-1\right)^2+y^3}{y^2}6y^5\mathrm dy=\int\left(\left(y^6-1\right)^2+y^3\right)6y^3\mathrm dy=\dots. \blacksquare

הצבות טריגונומטריות

כאשר יש פונקציה מהצורה \sqrt{a^2-b^2x^2}.

דוגמה 2

  1. \int\frac{\mathrm dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}

    פתרון

    נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1) \sqrt{x^2+4} חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא \tan(y)=\frac x2\iff x=2\tan(y)\implies\mathrm dx=\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}. נקבל
    \begin{align}\int&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}\\&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}\\&=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy\end{align}
    נציב t=\sin(y)\implies\mathrm dt=\cos(y)\mathrm dt אזי \int=\frac14\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots. \blacksquare
  2. \int\frac\sqrt{9-4x^2}x\mathrm dx

    פתרון

    שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה \sin(y)=\frac{2x}3\implies \mathrm dx=\frac32\cos(y)\mathrm dy אזי
    \begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)\mathrm dy\\&=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}\mathrm dy\\&=3\int\csc(y)\mathrm dy-3\int\sin(y)\mathrm dy\\&=\dots\end{align}
    נותר לפתור \int\csc(y)\mathrm dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy=\int\frac{-\mathrm dt}{1-t^2} עבור t=\cos(y). מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. \blacksquare
  3. \int\frac{\mathrm dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32}

    פתרון

    ראשית נציב y=x-3\implies \int=\int\frac{\mathrm dy}{\left(4y^3-9\right)^\frac32}. נציב \sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ \tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2} נקבל: \int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה t=\cos(z) ואז \int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots. \blacksquare

הצבות מיוחדות

ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב x=2\arctan(y)\iff y=\tan\left(\frac x2\right) ולכן \sin(x)=\frac{2y}{1+y^2} וגם \cos(x)=\frac{1-y^2}{1+y^2}.

דוגמה 3

פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:

  1. \int\csc(x)\mathrm dx

    פתרון

    \int=\int\frac1\frac{2y}{1+y^2}\cdot2\cdot\frac1{1+y^2}\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln\left|\tan\left(\frac x2\right)\right|+c\blacksquare
  2. \int\frac{\mathrm dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}

    פתרון

    נציב y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm dx=2y\mathrm dy לפיכך \int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots. \blacksquare

    מסקנה: כאשר יש ביטוי מהצורה \sqrt[n]{ax+b} ננסה להציב y^n=ax+b.

אם יש ביטוי מהצורה \sqrt{c+bx+x^2} כאשר הפולינום אי פריק נציב (y-x)^2=c+bx+x^2. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו \alpha,\ \beta נציב c+bx+x^2=(\beta-y)^2 או c+bx+x^2=(\alpha-y)^2.

דוגמה 4

נחשב \int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}

פתרון

הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו
\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}
ואז \int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}. \blacksquare
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_תרגול/27.3.11&oldid=10550