הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
(←דוגמאות חישוב) |
|||
שורה 2: | שורה 2: | ||
==דוגמאות חישוב== | ==דוגמאות חישוב== | ||
# נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}} | # נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}} | ||
− | # <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dy}{1+y^2}\mathrm dy=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=...</math>. {{משל}} | + | # <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty\frac{0.5\mathrm dy}{1+y^2}\mathrm dy=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=...</math>. {{משל}} |
# עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math>: אם <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. הערה: עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>. {{משל}} | # עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math>: אם <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. הערה: עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>. {{משל}} | ||
# נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניח ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty</math>, ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math> נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math> ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>. {{משל}} | # נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניח ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty</math>, ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math> נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math> ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>. {{משל}} |
גרסה מ־14:40, 20 באפריל 2011
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי (המשך)
דוגמאות חישוב
- נחשב :דרך קיצור:
- : נציב ואז כאשר נקבל וכאשר נקבל ולכן .
- עבור נחשב : אם זה , כלומר מתבדר. עבור נקבל , כלומר האינטגרל מתכנס . הערה: עבור מתקבל בקטע . לכן מבין הפונקציות , הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על מתבדר היא . אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ- שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל . "קל לבדוק" שעבור האינטגרל מתכנס אם"ם .
- נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב- ונניח ש-. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב- מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א , ועדיין . ובכן נגדיר אז כמובן ש- ולפי הנתון נגדיר ולכן ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת .
- נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב- ו- מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש- מתכנס.
בנייה: נגדיר לכן לכן קיים ושווה ל-L. אם נגדיר אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר אז וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, . נגדיר חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן - , כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין.
- נתבונן באינטגרל - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר ): . נסמן . טענה: המספרים מקיימים
- (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).
- אם k אי-זוגי אז בקטע ואם k זוגי אז בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.
- לכל k טבעי כי בעלת סימן קבוע ב-. נציב על מנת לקבל ומכיוון ש- זה שווה ל- ואילו , ומכיוון ש- הטענה השנייה מתקיימת.
משפט 1
נניח שהפונקציות f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות בקטע ו-c מספר קבוע. אזי הפונקציה אינטגרבילית ב- ומתקיים .
הוכחה
לפי הגדרה .
משפט 2
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- ויהי . אזי האינטגרל מתכנס אם"ם מתכנס, ואם כן . ההוכחה פשוטה מדי.
משפט 3
- תהי f מוגדרת ועולה בקטע . אזי קיים אם"ם , ואם כן .
- תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. עוד נניח ש- בקטע זה, אזי מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים מלעיל.
הוכחות
- נניח . טענה: קיים ושווה ל-m. הוכחה: לפי אפיון החסם העליון, אם אזי קיים כך ש- לכן עבור כל מתקיים (מכיוון ש-f עולה) . בפרט, לכל מתקיים ולכן ואם (לא חסום) אז לכל קיים כך ש-. כעת, אם אז . נובע ש- ואין גבול במובן הצר.
- לכל נגדיר . כיוון ש- לכל , עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי מקיים וראינו בסעיף 1 שהגבול של קיים אם"ם חסומה מלעיל, ז"א אם"ם חסום מלעיל כאשר .
מסקנה
מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל הלא אמיתי של פונקציה אינטגרבילית מקומית אי-שלילית מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-.