הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.4.11"
מ (←אינטגרל לא אמיתי, סוג I) |
(←מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}) |
||
שורה 3: | שורה 3: | ||
ע"י נירמול מספיק לחשב בקירוב <math>\int\limits_{-h}^h f\approx\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math> כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה <math>G(h):=\int\limits_{-h}^h f-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math>. G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) <math>G(0)=0</math>. עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי){{left|<math>\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dh}G(h)&=\frac\mathrm d{\mathrm dh}\left(F(h)-F(-h)-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))\right)\\&=f(h)+f(-h)-\frac13(f(-h)+4f(0)+f(h))-\frac h3(-f'(-h)+f'(h))\end{align}</math>}} | ע"י נירמול מספיק לחשב בקירוב <math>\int\limits_{-h}^h f\approx\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math> כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה <math>G(h):=\int\limits_{-h}^h f-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math>. G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) <math>G(0)=0</math>. עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי){{left|<math>\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dh}G(h)&=\frac\mathrm d{\mathrm dh}\left(F(h)-F(-h)-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))\right)\\&=f(h)+f(-h)-\frac13(f(-h)+4f(0)+f(h))-\frac h3(-f'(-h)+f'(h))\end{align}</math>}} | ||
− | לכן <math>\lim_{h\to0}G'(h)=f(0)+f(0)-\frac13(f(0)+4f(0)+f(0)-0=2f(0)-\frac63f(0)=0</math>. ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת <math>G'(0)</math> קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל <math>\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dh^2}G(h)=\frac13(f'(h)-f'(-h))-\frac h3(f''(-h)+f''(h))</math>. מכאן ש-<math>\lim_{h\to0}G''(h)=\frac13(f'(0)-f'(0))-0=0=G''(0)</math>. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל <math>G'''(0)=G^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>G^{(4)}(h)=-\frac13(-f'''(-h)+f'''(h))-\frac h3(f^{(4)}(-h)+f^{(4)}(h))</math>. עתה: | + | לכן <math>\lim_{h\to0}G'(h)=f(0)+f(0)-\frac13(f(0)+4f(0)+f(0))-0=2f(0)-\frac63f(0)=0</math>. ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת <math>G'(0)</math> קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל <math>\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dh^2}G(h)=\frac13(f'(h)-f'(-h))-\frac h3(f''(-h)+f''(h))</math>. מכאן ש-<math>\lim_{h\to0}G''(h)=\frac13(f'(0)-f'(0))-0=0=G''(0)</math>. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל <math>G'''(0)=G^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>G^{(4)}(h)=-\frac13(-f'''(-h)+f'''(h))-\frac h3(f^{(4)}(-h)+f^{(4)}(h))</math>. עתה: |
{| | {| | ||
{{=|l=\frac{G(h)}{h^5} | {{=|l=\frac{G(h)}{h^5} |
גרסה מ־08:48, 5 במאי 2011
מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)
בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל המסויים והראנו שהטעות בחישוב בקטע חסומה ע"י כאשר h המרחק בין שתי נקודות סמוכות בחלוקה שבחרנו. ניתן גישה אחרת למציאת הטעות, שהיא יותר קצרה ונותנת ערך יותר קטן לחסם של הטעות, אבל היא פחות אינטואיטיבית:
ע"י נירמול מספיק לחשב בקירוב כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה . G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) . עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי)לכן . ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל . מכאן ש-. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל וגם . עתה:
לפי משפט קושי קיים עבורו: | ||||||
קיים עבורו: | ||||||
קיים עבורו: | ||||||
קיים עבורו: |
עתה וקיבלנו ש-, כלומר הטעות בכל קטע מהסוג חסומה ע"י . ב- יש ולפיכך הטעות חסומה ע"י .
דוגמה
נקרב . נבחר . נציב:
- הקירוב לפי סכום רימן הוא .
- כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים:
- ולפי סימפסון: נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: ולכן והטעות R בקירוב מקיימת
אינטגרל לא אמיתי, סוג I
עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי" (improper integral).
אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג .
הגדרה: תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית (locally integrable) בקטע זה אם לכל f אינטגרבילית בקטע .
למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית.
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- נגדיר . אם הגבול קיים נאמר שהאינטגרל מתכנס, אחרת הוא מתבדר.
אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר .
עבור f מוגדרת בכל נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר עבור כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.
דוגמאות
- . נחשב: ניתן גם לכתוב בקיצור: .
- , כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).
- שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף סביב ציר ה-x ב-. איך צובעים אותו מבפנים?
פתרון: לכאורה זה בלתי אפשרי, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא , כלומר אין מספיק צבע בעולם. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא , יספיקו לנו יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף.
שאלה: האם התכנסות האינטגרל גוררת ש- (בדומה לטורים)?
תשובה: לא. נגדיר פונקציה f שהגרף שלה הוא
אזיכלומר האינטגרל מתכנס, אבל לא קיים.