הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/10.4.11"
(←משפט 7) |
מ (←פתרון) |
||
שורה 52: | שורה 52: | ||
</li><li>ידוע לנו ש-<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6</math>. אם נקח, למשל, <math>\sum_{n=1}^{10^6}\frac1{n^2}</math>, מהו סדר הגודל של השארית R? | </li><li>ידוע לנו ש-<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6</math>. אם נקח, למשל, <math>\sum_{n=1}^{10^6}\frac1{n^2}</math>, מהו סדר הגודל של השארית R? | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | נחסום את השארית מלעיל ומלרע בעזרת המסקנה למשפט 6. נגדיר <math>f(x)=\frac1{x^2}</math> אזי <math>R=\frac{\pi^2}6-\sum_{n=1}^{10^6}\frac1{n^2}=\sum_{n=10^6+1}^\infty</math>. מתקיים <math>\sum_{n=10^6+1}^\infty\le\int\limits_{10^6}^\infty f=\left[\frac{-1}x\right]_{x=10^6}^\infty=10^{-6}</math>. כמו כן <math>\int\limits_{10^6+1}^\infty f\le\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)</math> ולכן <math>\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)\ge\left[\frac{-1}x\right]_{x=10^6+1}^\infty=\frac1{10^6+1}</math>. | + | נחסום את השארית מלעיל ומלרע בעזרת המסקנה למשפט 6. נגדיר <math>f(x)=\frac1{x^2}</math> אזי <math>R=\frac{\pi^2}6-\sum_{n=1}^{10^6}\frac1{n^2}=\sum_{n=10^6+1}^\infty\frac1{n^2}</math>. מתקיים <math>\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)\le\int\limits_{10^6}^\infty f=\left[\frac{-1}x\right]_{x=10^6}^\infty=10^{-6}</math>. כמו כן <math>\int\limits_{10^6+1}^\infty f\le\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)</math> ולכן <math>\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)\ge\left[\frac{-1}x\right]_{x=10^6+1}^\infty=\frac1{10^6+1}</math>. |
לסיכום, השארית מקיימת <math>\frac1{10^6+1}\le R\le\frac1{10^6}</math>. | לסיכום, השארית מקיימת <math>\frac1{10^6+1}\le R\le\frac1{10^6}</math>. | ||
שורה 62: | שורה 62: | ||
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f מקיימת את תנאי קושי עבור <math>x\to\infty</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2\ge x_1>x_0</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon</math>. | '''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f מקיימת את תנאי קושי עבור <math>x\to\infty</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2\ge x_1>x_0</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon</math>. | ||
+ | |||
==משפט 7== | ==משפט 7== | ||
תהי f מוגדרת בקטע <math>[a,\infty)</math>. <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ממש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע. | תהי f מוגדרת בקטע <math>[a,\infty)</math>. <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ממש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע. |
גרסה מ־14:27, 13 ביולי 2011
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
משפט 4 (מבחן ההשוואה)
נניח ש- ונניח ש-f,g אינטגרביליות מקומית ב-. אזי:
- אם מתכנס אז מתכנס.
- אם מתבדר אז מתבדר.
הוכחה
- עפ"י משפט 3 מתקיים , כלומר . כעת, אם מתכנס אז הוא קטן מ-, ולכן ומתכנס.
- הוכחה טריוויאלית בדרך השלילה, בעזרת סעיף 1.
משפט 5 (מבחן ההשוואה הגבולי)
נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית ואי-שליליות ב-. עוד נניח שקיים . אם מתכנס אז .
הוכחה
כיוון ש- קיים כך שלכל מתקיים , ז"א . נתון ש-g אינטגרבילית ב-, ולכן, לפי משפט 2, היא אינטגרבילית ב-. לפי משפט 1 גם אינטגרבילית ב-. נובע מכך, יחד עם משפט 4, ש-f אינטגרבילית בקטע ולפי משפט 2 היא אינטגרבילית ב-.
מסקנה
בתנאים הנ"ל, אם מתקיים גם ש- אז מתכנס אם"ם .
הוכחה
לפי משפט 5 אם מתכנס אז . נותר להוכיח את הכיוון השני. מכיוון ש- מתקיים ולכן, שוב לפי משפט 5, אפשר להסיק ש- מתכנס אם מתכנס.
דוגמאות
עבור כל אחד מהאינטגרלים הבאים נבדוק אם הוא מתכנס או מתבדר.
- :
פתרון
כידוע, עבור x גדול החזקות הגדולות קובעות את סדר הגודל של הביטוי. לכן עבור הפונקציה בסדר גודל . נגדיר וכן . אזי . לכן האינטגרל מתבדר.
-
:
פתרון
נגדיר וכן . מתקיים . אבל , כלומר מתבדר. לכן גם האינטגרל הנתון מתבדר.
-
:
פתרון
נחשב את : נפעיל את כלל לופיטל 52 פעמים ונקבל . לכן אם מתכנס (מה שאכן מתקיים) אז האינטגרל הנתון מתכנס.
משפט 6 (המבחן האינטגרלי לטורים)
נניח ש-f פונקציה יורדת, אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- (עבור כלשהו). אזי .
הוכחה
נזכר בהגדרת דרבו של האינטגרל. הוא סכום עליון של ו- הוא סכום תחתון. נסיק ש-. כעת אם נתון ש- מתכנס אז הסכומים החלקיים חסומים מלעיל, ומכאן נובע שהאינטגרלים החלקיים חסומים מלעיל. נשאיף ומכיוון ש- האינטגרל מתכנס. מאידך, אם נתון כי אז האינטגרלים החלקיים חסומים מלעיל, לכן הסכומים החלקיים חסומים מלעיל ומכיוון ש- נובע ש- מתכנס מתכנס.
מסקנה
בהוכחה הראינו שבתנאים הללו מתקיים .
דוגמאות
-
- מתכנס או מתבדר?
פתרון
נגדיר , אזי f יורדת, אינטגרבילית מקומית ואי-שלילית ב-. עפ"י משפט 6 התכנסות הטור שקולה להתכנסות האינטגרל , שמתבדר: (אם כי ההתכנסות איטית מאוד).
- ידוע לנו ש-. אם נקח, למשל, , מהו סדר הגודל של השארית R?
פתרון
נחסום את השארית מלעיל ומלרע בעזרת המסקנה למשפט 6. נגדיר אזי . מתקיים . כמו כן ולכן .
לסיכום, השארית מקיימת .
פיתחנו כמה משפטים על התכנסות עבור f אי-שלילית. עתה נחזור לפונקציה כללית f שאינטגרבילית מקומית ב-.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f מקיימת את תנאי קושי עבור אם לכל קיים כך שאם אז .
משפט 7
תהי f מוגדרת בקטע . קיים ממש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
הוכחה
תחילה נניח שקיים ונאמת את תנאי קושי. יהי נתון. לפי ההגדרה קיים כך שאם אז . מכאן נובע שאם אז ולכן מתקיים תנאי קושי.
מצד שני, אם f מקיימת את תנאי קושי, אז קיים כך שלכל מתקיים . נקבע ונובע שלכל מתקיים . לכן אם אז ומכאן ש-. לכן f חסומה בקטע ולכן סדרה חסומה. יש לה תת סדרה מתכנסת כך ש- קיים ונאמר שהוא . טענה: קיים ושווה ל-L. הוכחה: ולכן עבור נתון קיים כך שאם אז . כמו כן, עפ"י תנאי קושי יש מספר כך שאם אז . עתה נגדיר ולכן .
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
מסקנה
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. אזי האינטגרל מתכנס אם"ם האינטגרל מקיים את תנאי קושי: לכל קיים כך שאם אז .
הוכחה
לכל נגדיר ולכן . כמו כן מתקיים . עתה, מתכנס אם"ם , וזה נכון אם"ם .