הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11"
(←מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}) |
(←מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}) |
||
שורה 10: | שורה 10: | ||
בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>. | בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>. | ||
</li><li>כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_{k+1}} f</math> ע"י <math>\frac | </li><li>כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_{k+1}} f</math> ע"י <math>\frac | ||
− | h3\Big(f(x_{k-1}+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)</math> | + | h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)</math> |
לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי): | לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי): |
גרסה מ־06:39, 5 במאי 2011
תוכן עניינים
מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)
- שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של : , כאשר . חלוקת הקטע משרה חלוקת הגרף . נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל יש רוחב h ושני גבהים . לכן שטח אותו טרפז הוא , והקירוב לאינטגרל הוא
נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g וכן הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים ונעריך את הטעות בו, השווה ל-. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.
כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב- ונסמן . נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה : , כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.
לסיכום, עד כה הראינו כי ו-. לכן השארית היא , ומכיוון ש-P לינארית , כלומר השארית היא . נחשב: וכןבסה"כ הטעות בקטע חסומה ע"י . יש n קטעים כאלה, לכן .
- כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את בעזרת חלוקה שווה , אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא . למעשה, סימפסון מקרב ע"י
לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי אזי .
הוכחה
נסמן ולכן . ב- נציב ונקבל . - נניח ש-f רציפה בסביבה של וגזירה בסביבה מנוקבת של . עוד נניח שקיים . אזי קיים ושווה ל-L.
הוכחה
לפי ההגדרה, אם f גזירה ב- אזי , ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל- עבור כלשהו בין ל-. לכן, כאשר גם ונקבל .
נחזור לכלל סימפסון.
שלב א
נניח ש- ו- פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש- (כאשר לכל f אינטגרבילית ב- הגדרנו ).
הוכחה
לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות) מתקייםשלב ב
נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטע ונסמן . נעריך את הטעות: . לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3, . לכן . כזכור . נעריך:מכל זה, יוצא ש: .
שלב ג
נוכיח כי לכל k שעבורו מתקיים
הוכחה
באינטגרל נציב כדי לקבל . ניצור פונקציה ונבנה ב- כמו שעשינו בשלב ב:כמו כן, מכיוון ש- מתקיים , ומכל זה נובע .
סיכום
מצאנו שעל כל תת קטע הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י . יש קטעים כאלה, ומכיוון ש- הטעות חסומה ע"י .
הערה: ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י .
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי אזי .