הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11"
(←מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}) |
(←שלב ג) |
||
שורה 31: | שורה 31: | ||
מכל זה, יוצא ש: <math>|I(f)-S(f)|=|I(R_3)-S(R_3)|\le\frac M{36}h^5+\frac M{60}h^5=\frac 2{45}Mh^5</math>. | מכל זה, יוצא ש: <math>|I(f)-S(f)|=|I(R_3)-S(R_3)|\le\frac M{36}h^5+\frac M{60}h^5=\frac 2{45}Mh^5</math>. | ||
==שלב ג== | ==שלב ג== | ||
− | נוכיח כי לכל k שעבורו <math>1\le k\le n-1</math> מתקיים <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f-\frac n3\left(f(x_{k-1}+4f(x_k)+f(x_{k+1})\right)=I(f)-S(f)</math> | + | נוכיח כי לכל k שעבורו <math>1\le k\le n-1</math> מתקיים <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f-\frac n3\left(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\right)=I(f)-S(f)</math> |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
באינטגרל <math>I(f)</math> נציב <math>t=x-x_k</math> כדי לקבל <math>I(f)=\int\limits_{x_{k-1}-x_k}^{x_{k+1}-x_k}f(t+x_k)\mathrm dt=\int\limits_{-h}^h f(t+x_k)\mathrm dt</math>. ניצור פונקציה <math>g:t\mapsto f(t+x_k)</math> ונבנה <math>S(g)</math> ב-<math>[-h,h]</math> כמו שעשינו בשלב ב: {{left|<math>\begin{align}S(g)&=\frac h3\Big(g(-h)+4g(0)+g(h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_k-h)+4f(x_k)+f(x_k+h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)\\&=S(f)\end{align}</math>}} | באינטגרל <math>I(f)</math> נציב <math>t=x-x_k</math> כדי לקבל <math>I(f)=\int\limits_{x_{k-1}-x_k}^{x_{k+1}-x_k}f(t+x_k)\mathrm dt=\int\limits_{-h}^h f(t+x_k)\mathrm dt</math>. ניצור פונקציה <math>g:t\mapsto f(t+x_k)</math> ונבנה <math>S(g)</math> ב-<math>[-h,h]</math> כמו שעשינו בשלב ב: {{left|<math>\begin{align}S(g)&=\frac h3\Big(g(-h)+4g(0)+g(h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_k-h)+4f(x_k)+f(x_k+h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)\\&=S(f)\end{align}</math>}} |
גרסה מ־08:29, 5 במאי 2011
תוכן עניינים
מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)
- שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של : , כאשר . חלוקת הקטע משרה חלוקת הגרף . נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל יש רוחב h ושני גבהים . לכן שטח אותו טרפז הוא , והקירוב לאינטגרל הוא
נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g וכן הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים ונעריך את הטעות בו, השווה ל-. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.
כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב- ונסמן . נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה : , כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.
לסיכום, עד כה הראינו כי ו-. לכן השארית היא , ומכיוון ש-P לינארית , כלומר השארית היא . נחשב: וכןבסה"כ הטעות בקטע חסומה ע"י . יש n קטעים כאלה, לכן .
- כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את בעזרת חלוקה שווה , אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא . למעשה, סימפסון מקרב ע"י
לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי אזי .
הוכחה
נסמן ולכן . ב- נציב ונקבל . - נניח ש-f רציפה בסביבה של וגזירה בסביבה מנוקבת של . עוד נניח שקיים . אזי קיים ושווה ל-L.
הוכחה
לפי ההגדרה, אם f גזירה ב- אזי , ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל- עבור כלשהו בין ל-. לכן, כאשר גם ונקבל .
נחזור לכלל סימפסון.
שלב א
נניח ש- ו- פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש- (כאשר לכל f אינטגרבילית ב- הגדרנו ).
הוכחה
לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות) מתקייםשלב ב
נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטע ונסמן . נעריך את הטעות: . לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3, . לכן . כזכור . נעריך:מכל זה, יוצא ש: .
שלב ג
נוכיח כי לכל k שעבורו מתקיים
הוכחה
באינטגרל נציב כדי לקבל . ניצור פונקציה ונבנה ב- כמו שעשינו בשלב ב:כמו כן, מכיוון ש- מתקיים , ומכל זה נובע .
סיכום
מצאנו שעל כל תת קטע הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י . יש קטעים כאלה, ומכיוון ש- הטעות חסומה ע"י .
הערה: ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י .
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי אזי .