הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/3.4.11"
(ביטול גרסה 10552 של 87.68.51.111 (שיחה)) |
(←דוגמה 1) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=שימושי האינטגרל= | =שימושי האינטגרל= | ||
==דוגמה 1== | ==דוגמה 1== | ||
− | חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>. | + | חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>. |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>. | נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>. |
גרסה מ־19:12, 15 במאי 2011
תוכן עניינים
שימושי האינטגרל
דוגמה 1
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה והישר .
פתרון
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: .
- דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב- ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין וכן . קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא .
- דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח בין ל-4 ושני שטחים שווים בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא
דוגמה 2
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות .
פתרון
נקודות חיתוך:
- ברור כי ל- אין נקודת חיתוך.
לכן השטח הוא .
דוגמה 3
מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.
פתרון
נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה. מדמיון משושלים נקבל ולכן שטח חתך כזה הוא . נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר השמתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא .
נפח גוף סיבוב
נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה .
דוגמה 4
חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה סביב ציר ה-x, עד לישר .
פתרון
. מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה, .
דוגמה 5
מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r.
פתרון
ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל ולכן בחצי המישור העליון . הנפח הוא .
דוגמה 6
מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים ו- בקטע .
פתרון
נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: , כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא .
נפח גוף סיבוב המסתובב סביב ציר ה-y במקום ציר ה-x בקטע נתון ע"י הנוסחה .
דוגמה 7
חשבו הנפח הנוצר מסיבוב התחום הנקבע ע"י סביב ציר ה-y.
פתרון
לפי הנוסחה .
דוגמה 8
חשב את נפח התחום שמתחת ל- בקטע המסתובב סביב ציר ה-x.
פתרון
.