הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"
מ (←משפט 2) |
מ (←הוכחה) |
||
שורה 27: | שורה 27: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. | + | נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. מכאן ש-H היא פונקציה קבועה ולכן יש קבוע c כך ש-<math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}} |
---- | ---- |
גרסה מ־14:42, 9 ביולי 2011
נושא ראשון:
אינטגרציה
הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
תוכן עניינים
דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף
נתון הגרף של y=x2 ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע . נחלק את הקטע:
כך שבאופן כללי (בגרף מוצג המקרה הפרטי ).
מעל כל תת קטע נבנה "מלבן חוסם" שגובהו . ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם כמו כן, מעל כל תת קטע נבנה "מלבן חסום" שגובהו . ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסוםכעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-, ז"א . הדבר נכון לכל ולכן נוכל להשאיף את ולקבל , לכן .
הגדרה: תהי מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה קדומה ל-f ב-I אם .
דוגמה: אם אז .
משפט 0
אם ו- קדומות ל- בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה
נגדיר ולכן . מכאן ש-H היא פונקציה קבועה ולכן יש קבוע c כך ש-.
הגדרה אינטואיטיבית: תהי רציפה בקטע . נסמן ב- את השטח שמתחת לגרף.
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)
תהי מוגדרת ורציפה ב-.
- לכל נגדיר אזי .
- אם קדומה ל- ב- אז .
הוכחה
- יהי x נתון. לפי ההגדרה . בגרף: השטח של החלק הירוק, בסיס החלק הירוק, לפיכך הגובה הממוצע של החלק הירוק. לכן הוא הגובה הממוצע כאשר , כלומר .
- נתונה פונקציה קדומה . מחלק 1 ידוע גם ש- פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-. לכן .
האינטגרל לפי דרבו
הקדמה - הגדרות
תהי מוגדרת וחסומה ע"י ו- בקטע . נגדיר את התנודה של f ע"י . כעת נגדיר חלוקה P של :
עוד נגדיר לכל את אורך תת קטע מספר k להיות ואת הפרמטר של P להיות .
לכל k כך ש- נגדיר וכן .
בהתאם לכך נגדיר:
- שטח חוסם - הסכום העליון:
- שטח חסום - הסכום התחתון:
משפט 1
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים .
הוכחה
= סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a | ||||||
לכל k מתקיים . | ||||||
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" ו"האינטגרל התחתון" .
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב- אם ואם הם שווים אז נגדיר להיות הערך המשותף של ו-.
דוגמה
בקטע כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה . נקח חלוקה כלשהי ל-: .
לכל k מתקיים וכן . לכן ואילו .
מכאן ו-. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2
תהי מוגדרת וחסומה ב-. תהי P חלוקה של ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
(נזכיר ש- ו-)
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-.
הוכחה
מקרה ראשון: . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת כך ש- עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר ו-. כמו כן, לא שינינו כל תת קטע עבור כלשהו. לכן
לפי ההגדרות ולפיכךאת ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
כמו כן,
מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק .
ההוכחה לסכום תחתון דומה.
מסקנה 1
נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של . אזי .
הוכחה
נבנה עידון משותף, ז"א . לפי משפט 2 מתקיים .
מסקנה 2
עבור f כנ"ל מתקיים .
הוכחה
מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של מתקיים ולכן . כמו כן, לפי ההגדרה ו-.