הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11"
מ (←משפט 1) |
מ |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | {{ | + | {{המשך הגיע|תיאור=משפט 10|תאריך=15.5.11}} |
=התכנסות במ"ש של טורים {{הערה|(המשך)}}= | =התכנסות במ"ש של טורים {{הערה|(המשך)}}= |
גרסה מ־20:49, 29 ביולי 2012
את משפט 10 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־17.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
התכנסות במ"ש של טורים (המשך)
דוגמה
נבנה פונקציה S רציפה ב- שאינה גזירה באף נקודה. תחילה נגדיר בקטע עם המשך מחזורי בכל :
לכן וכן אם אז , ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר ואז וכן אם אז . נמשיך להגדיר ולכן ואם אז . לבסוף, נגדיר אזי S רציפה ב- (כי כל רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס: ו- מתכנס).
הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה: שמתבדר (כי ), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם במ"ש ואם לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת שהגדרנו קודם: ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל שמתבדר בין ל-, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.
הוכחה נכונה: נאמר ששתי נקודות שונות מקיימות את התכונה הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של (למשל הקטע , כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע וכו'). אם מקיימות זאת אזי . נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות מקיימות תכונה אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של . במקרה כזה . נשים לב שאם הנקודות מקיימות אז הן מקיימות , ובהכללה . כעת יהי נתון ונוכיח כי לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה כלשהי כך ש- לא קיים הגבול . נבחר אם מקיימות , ו- אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות מקיימות כי אם לא מקיימות אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של . ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב- הוא ולכן כן מקיימות . כמו כן ברור כי . מתקיים . כיוון ש- מקיימות מתקיימת לכל הטענה . עבור המחזור של הוא . אם אז הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן , ומכאן ש-. לפיכך לכל m נקבל . כאשר הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x.
טורי חזקות
הגדרה: טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה עבור לכל n. כאשר נקבל טור הנדסי.
דוגמה: הוא טור חזקות הנדסי. אם נציב נקבל , ולכן הטור מתכנס אם"ם , וסכומו הוא .
משפט 1
יהי טור חזקות כלשהו ונגדיר (R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי:
- אם x מקיים אז הטור מתכנס בהחלט.
- אם x מקיים אז הטור מתבדר.
- אם אז הטור מתכנס במ"ש בקטע .
הוכחה
- יהי x כך ש- ונבחר P כך ש-. מכאן נובע ש- ולפיכך קיים כך ש-. מכאן נובע כי ולכן . מכאן שהטור הוא טור הנדסי שמתכנס, וממבחן ההשוואה מתכנס, כלומר הטור המקורי מתכנס בהחלט בנקודה x.
- נתון ונרשום . לפי הנתון ולכן יש אינסוף אינדקסים n כך ש-. עבור אותם n-ים מתקיים ולכן . לפיכך מתבדר (כי האיבר הכללי לא שואף ל-0).
- נבחר P כך ש-. כמו בסעיף 1, קיים כך שלכל מתקיים ולכן אם אז . קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור וכיוון שסכום החסמים הוא טור הנדסי מתכנס (כי ) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש- מתכנס במ"ש ב-.
הערה: באופן כללי, עבור , . כאשר מתקיים , ואז הטור מתכנס בהחלט לכל , ובמ"ש על כל תת קטע של (כולל עצמו). כאשר מתקיים ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר .
הערה: לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים . מקרה זה יש לבדוק בנפרד.