הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.5.11"
(←משפט 9) |
מ |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | =התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}= | ||
==תרגיל ברוח מבחן== | ==תרגיל ברוח מבחן== | ||
נניח ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I וש-<math>f_n</math> חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם <math>f_n\to f</math> נקודתית ב-I. | נניח ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I וש-<math>f_n</math> חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם <math>f_n\to f</math> נקודתית ב-I. | ||
שורה 20: | שורה 21: | ||
− | לצד השני, נניח ש-<math>\{f_n\}</math> מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח <math>x_0\in I</math> כלשהו ונעיר שסדרת המספרים <math>\{f_n(x_0)\}</math> היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon</math> | + | לצד השני, נניח ש-<math>\{f_n\}</math> מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח <math>x_0\in I</math> כלשהו ונעיר שסדרת המספרים <math>\{f_n(x_0)\}</math> היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon</math>) ולפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>. הדבר נכון לכל <math>x_0\in I</math> וכך נוצרת פונקציה גבולית <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. עפ"י תנאי קושי יש <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>m>n>n_0</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. כעת נבחר <math>n>n_0</math> מסויים ולכל <math>x\in I</math> נשאיף <math>m\to\infty</math> כלומר <math>|f_n(x)-f(x)|=\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math>. לכן הוכחנו ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I. {{משל}} |
=טורי פונקציות= | =טורי פונקציות= | ||
שורה 28: | שורה 29: | ||
==משפט 6== | ==משפט 6== | ||
− | הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש | + | הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש על I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
לפי הגדרה <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים <math>\{S_N(x)\}</math> מתכנסת במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם <math>\{S_N(x)\}</math> קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>|S_n(x)-S_m(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>, שמתקיים אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math> וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. {{משל}} | לפי הגדרה <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים <math>\{S_N(x)\}</math> מתכנסת במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם <math>\{S_N(x)\}</math> קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>|S_n(x)-S_m(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>, שמתקיים אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math> וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. {{משל}} | ||
− | ==משפט 7 {{הערה|(מבחן ה-M של | + | ==משפט 7 {{הערה|(מבחן ה-M של ויירשטראס, Weierstrass M-test)}}== |
− | נניח שלכל n הפונקציה <math>f_n(x)</math> מוגדרת ב-I וחסומה שם: <math>|f_n(x)|\le M_n</math> לכל <math>x\in I</math>. עוד נניח שהסכום <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס | + | נניח שלכל n הפונקציה <math>f_n(x)</math> מוגדרת ב-I וחסומה שם: <math>|f_n(x)|\le M_n</math> לכל <math>x\in I</math>. עוד נניח שהסכום <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס במובן הצר. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש על I. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מקיים תנאי קושי ב-I. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>\left|\sum_{k=m}^n M_k\right|<\varepsilon</math>, כלומר <math>\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> (כי <math>M_k\ge0</math>). כעת אם <math>n>m>n_0</math> אז לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>\left|\sum_{k=m}^n f_n(x)\right|\le\sum_{k=m}^n|M_k| | + | נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מקיים תנאי קושי ב-I. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>\left|\sum_{k=m}^n M_k\right|<\varepsilon</math>, כלומר <math>\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> (כי <math>M_k\ge0</math>). כעת אם <math>n>m>n_0</math> אז לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>\left|\sum_{k=m}^n f_n(x)\right|\le\sum_{k=m}^n|M_k|=\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור <math>\sum f_n(x)</math> במ"ש על I. {{משל}} |
===מסקנה=== | ===מסקנה=== | ||
− | בתנאים של מבחן | + | בתנאים של מבחן ויירשראס, אם <math>x\in I</math> אזי <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס בהחלט. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לפי | + | נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לפי הנתון <math>\forall n:\ |f_n(x)|\le M_n</math> וכן <math>\sum M_n</math> מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה <math>\sum |f_n(x)|</math> מתכנס. {{משל}} |
====דוגמה==== | ====דוגמה==== | ||
שורה 47: | שורה 48: | ||
נראה כי ההתכנסות אינה במ"ש. כל סכום חלקי <math>S_N</math> חסום בקטע <math>(-1,1)</math>: <math>|S_N(x)|\le\sum_{n=0}^N |x^n|\le\sum_{n=0}^N 1=N</math>. אם היה נכון ש-<math>S_N(x)\to\frac1{1-x}</math> במ"ש ב-<math>(-1,1)</math> היינו מסיקים מהתרגיל בתחילת ההרצאה שהפונקציה <math>\frac1{1-x}</math> חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש. | נראה כי ההתכנסות אינה במ"ש. כל סכום חלקי <math>S_N</math> חסום בקטע <math>(-1,1)</math>: <math>|S_N(x)|\le\sum_{n=0}^N |x^n|\le\sum_{n=0}^N 1=N</math>. אם היה נכון ש-<math>S_N(x)\to\frac1{1-x}</math> במ"ש ב-<math>(-1,1)</math> היינו מסיקים מהתרגיל בתחילת ההרצאה שהפונקציה <math>\frac1{1-x}</math> חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש. | ||
− | נותר להוכיח שאם <math>r\in(0,1)</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> במ"ש על <math>[-r,r]</math>. ובכן בקטע <math>[-r,r]</math> מתקייים <math>|x^n|\le r^n=M_n</math> כאן <math>\sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r}</math>. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן | + | נותר להוכיח שאם <math>r\in(0,1)</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> במ"ש על <math>[-r,r]</math>. ובכן בקטע <math>[-r,r]</math> מתקייים <math>|x^n|\le r^n=M_n</math> כאן <math>\sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r}</math>. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן ויירשראס אומר ש-<math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[-r,r]</math>. {{משל}} |
==משפט 8== | ==משפט 8== | ||
שורה 76: | שורה 77: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N=\sum_{n=1}^N f_n</math>. הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה <math>x=x_0</math> קיים <math>\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math>. הנתון השני אומר שקיים <math>s(x)=\lim_{N\to\infty} S_N'(x)</math> במ"ש ב-I. ז"א הסדרה <math>\{S_N(x)\}</math> מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math> ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו-<math>S'=s</math>. עתה <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> וכן <math>s(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math>. מכיוון ש-<math>S'=s</math> נסיק <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\sum_{n= | + | נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N=\sum_{n=1}^N f_n</math>. הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה <math>x=x_0</math> קיים <math>\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math>. הנתון השני אומר שקיים <math>s(x)=\lim_{N\to\infty} S_N'(x)</math> במ"ש ב-I. ז"א הסדרה <math>\{S_N(x)\}</math> מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math> ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו-<math>S'=s</math>. עתה <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> וכן <math>s(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math>. מכיוון ש-<math>S'=s</math> נסיק <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}S(x)=s(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math>. {{משל}} |
===דוגמה ממבחן=== | ===דוגמה ממבחן=== | ||
לכל <math>x\in\mathbb R</math> נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math>. הוכיחו ש-S מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל <math>x\in\mathbb R</math>) ו-S בעלת נגזרת רציפה לכל <math>x\in\mathbb R</math>. | לכל <math>x\in\mathbb R</math> נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math>. הוכיחו ש-S מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל <math>x\in\mathbb R</math>) ו-S בעלת נגזרת רציפה לכל <math>x\in\mathbb R</math>. | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | לפי מבחן ה-M של | + | לפי מבחן ה-M של ויירשראס, נמצא חסם עליון לערך המוחלט איברי הטור: <math>\forall n:\ \sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin(nx)}{n^3}\right|=\frac1{n^3}</math>. כעת <math>\sum\frac1{n^3}</math> מתכנס, לכן <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math> מתכנס במ"ש על <math>\mathbb R</math>, כלומר S מוגדרת היטב. נותר להוכיח ש-<math>S'</math> קיימת ורציפה. נעזר במשפט 10: הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math> מתכנס בכל נקודה ב-<math>\mathbb R</math> וכן הטור הגזור איבר-איבר הוא <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}</math>. לכל n מתקיים <math>\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\cos(nx)}{n^2}\right|=\frac1{n^2}</math> ו-<math>\sum\frac1{n^2}</math> מתכנס. ע"י מבחן ה-M של ויירשראס נסיק שהטור הגזור מתכנס במ"ש על <math>\mathbb R</math> ולכן <math>S'</math> קיימת ובפרט <math>S'=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}</math>. ברור כי <math>\frac{\cos(nx)}{n^2}</math> רציפה ב-<math>\mathbb R</math> ולכן, מכיוון שההתכנסות ל-<math>S'</math> במ"ש, גם <math>S'</math> רציפה (לפי משפט 8). {{משל}} |
גרסה מ־15:20, 28 באוגוסט 2011
תוכן עניינים
התכנסות במידה שווה (המשך)
תרגיל ברוח מבחן
נניח ש- במ"ש על I וש- חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם נקודתית ב-I.
פתרון
אם במ"ש ב-I אז נוכל לקחת ולכן קיים n מסויים כך שלכל מתקיים ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל מתקיים . לכן . נתון ש- חסומה, נניח אזי .
לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר ב-. אזי נקודתית וכל חסומה ע"י n, אלא ש-, שבוודאי לא חסומה.
הגדרה: נתונה סדרת פונקציות בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל קיים כך שאם אז ב-I.
משפט 5
סדרת פונקציות בקטע I מתכנסת במ"ש ב-I אם"ם היא מקיימת תנאי קושי במידה שווה.
הוכחה
תחילה נניח שקיים במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי נתון. לפי הנתון ש- במ"ש ב-I, קיים כך שאם אז לכל .
כעת אם אז לכל מתקיים .
לצד השני, נניח ש- מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח כלשהו ונעיר שסדרת המספרים היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל קיים כך שאם אז ) ולפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול . הדבר נכון לכל וכך נוצרת פונקציה גבולית . נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי נתון. עפ"י תנאי קושי יש כך שלכל מתקיים לכל . כעת נבחר מסויים ולכל נשאיף כלומר . לכן הוכחנו ש- במ"ש ב-I.
טורי פונקציות
נאמר שהטור מתכנס ל- במ"ש על I אם במ"ש על I.
הגדרה: הטור מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל קיים כך שאם אז לכל .
משפט 6
הטור מתכנס במ"ש על I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I.
הוכחה
לפי הגדרה מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים מתכנסת במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל קיים כך שאם אזי לכל , שמתקיים אם"ם לכל וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I.
משפט 7 (מבחן ה-M של ויירשטראס, Weierstrass M-test)
נניח שלכל n הפונקציה מוגדרת ב-I וחסומה שם: לכל . עוד נניח שהסכום מתכנס במובן הצר. אזי מתכנס במ"ש על I.
הוכחה
נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור מקיים תנאי קושי ב-I. לצורך זה יהי נתון. כיוון ש- מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים כך שאם אזי , כלומר (כי ). כעת אם אז לכל מתקיים ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I.
מסקנה
בתנאים של מבחן ויירשראס, אם אזי מתכנס בהחלט.
הוכחה
נקח כלשהו. לפי הנתון וכן מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה מתכנס.
דוגמה
נוכיח שהטור ההנדסי מתכנס נקודתית בקטע אבל לא במ"ש ונוכיח שאם הטור מתכנס ב-: כבר הוכחנו שאם אז מתכנס ל-.
נראה כי ההתכנסות אינה במ"ש. כל סכום חלקי חסום בקטע : . אם היה נכון ש- במ"ש ב- היינו מסיקים מהתרגיל בתחילת ההרצאה שהפונקציה חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש.
נותר להוכיח שאם אז במ"ש על . ובכן בקטע מתקייים כאן . כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן ויירשראס אומר ש- מתכנס במ"ש ב-.
משפט 8
נניח ש- עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה כל רציפה ב- אז גם S רציפה ב-.
הוכחה
לכל N הסכום החלקי סכום סופי של פונקציות רציפות ב-.
מאינפי 1 ידוע ש- רציפה ב- עבור כל N. נתון במ"ש על I.
לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב-.
מסקנה
בתנאים של משפט 8, אם כל רציפה ב-I כולו אז גם S רציפה ב-I כולו.
משפט 9
נניח במ"ש על . עוד נניח שכל אינטגרבילית ב-. אזי S אינטגרבילית ב- ו-.
הוכחה
כרגיל נגדיר סכומים חלקיים ונתון במ"ש על . לפי משפט 3 כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מצאנו שקיים גבול ולפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא , והוא שווה ל-.
משפט 10
יהי טור של פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. נניח:
- עבור נקודה אחת לפחות הטור מתכנס.
- טור הנגזרות מתכנס במ"ש לפונקציה s על I.
אזי מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים . בפרט, בתנאים אלה .
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
הוכחה
נגדיר סכומים חלקיים . הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה קיים . הנתון השני אומר שקיים במ"ש ב-I. ז"א הסדרה מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו-. עתה וכן . מכיוון ש- נסיק .
דוגמה ממבחן
לכל נגדיר . הוכיחו ש-S מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל ) ו-S בעלת נגזרת רציפה לכל .
פתרון
לפי מבחן ה-M של ויירשראס, נמצא חסם עליון לערך המוחלט איברי הטור: . כעת מתכנס, לכן מתכנס במ"ש על , כלומר S מוגדרת היטב. נותר להוכיח ש- קיימת ורציפה. נעזר במשפט 10: הטור מתכנס בכל נקודה ב- וכן הטור הגזור איבר-איבר הוא . לכל n מתקיים ו- מתכנס. ע"י מבחן ה-M של ויירשראס נסיק שהטור הגזור מתכנס במ"ש על ולכן קיימת ובפרט . ברור כי רציפה ב- ולכן, מכיוון שההתכנסות ל- במ"ש, גם רציפה (לפי משפט 8).