הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית"
מתוך Math-Wiki
(←אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית) |
(←אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>. | תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>. | ||
− | '''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים. | + | '''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים). |
==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>== | ==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>== |
גרסה מ־06:36, 4 באוגוסט 2011
תוכן עניינים
אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב .
עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
מצב ראשון
ניתן למצוא קבוע c כך ש כך ש.
אז רושמים
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני
- נפרק את q לגורמים אי פריקים:
- כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
- נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים .
- נחשב כל מחובר בנפרד:
אינטגרל מהצורה
נבצע הצבה על מנת לקבל:
אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי פריק)
- דבר ראשון, נבצע את המצב הראשון באלגוריתם על מנת לצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה
- שנית, נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל
- כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה
- נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
מצב שלישי
- קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים וגם .
- נפריד את האינטגרל לשניים
- נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
מצב רביעי
- נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא כאשר מתקיים
- מתקיים
- נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.