הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11"
מ (←הוכחה) |
מ |
||
שורה 80: | שורה 80: | ||
#<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}} | #<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}} | ||
− | + | {{המשך סיכום|תאריך=1.3.11}} | |
− | + | ||
<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> | <li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> | ||
<li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le\sup_{x,y\in[a,b]}|f(x)-f(y)|=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> ואז <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\end{align}</math>}} | <li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le\sup_{x,y\in[a,b]}|f(x)-f(y)|=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> ואז <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\end{align}</math>}} |
גרסה מ־20:31, 29 ביולי 2012
תוכן עניינים
האינטגרל לפי דרבו (המשך)
משפט 8
נניח ש-f מוגדרת וחסומה בקטע ונניח ש-. אזי f אינטגרבילית ב- וב- אם"ם היא אינטגרבילית ב-, ואם כן מתקיים .
הוכחה
: נתונה f אינטגרבילית ב- וב-. נקח חלוקה כלשהי P של וחלוקה Q של ונגדיר (כלומר R חלוקה של ). לכן מתקיים . נשאיף . לפי הנתון וגם , לכן . באותו אופן נקבל . הראנו ש- ולכן f אינטגרבילית ב-. ע"פ משפט 4 נסיק .
: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב ו-. נחסיר ונקבל: . כעת, אם , האינטגרביליות של f על גוררת שעבור ו- מספיק קטנים . קיום חלוקה P כזאת לכל מוכיח ש-f אינטגרבילית ב- וקיום חלוקה Q - ב-. השיוויון נובע מהחלק הקודם.
הכללה
אם ואם f אינטגרבילית ב- אז . ההוכחה באינדוקציה.
מוסכמות:
- אם ואם f אינטגרבילית ב- נרשום
(אלה מוסכמות ולא משפטים כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, לא מוגדר עבור )
עם מוסכמות אלה יתקיים:
באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם אז לפי משפט 8 . נבדוק: ולכן , מה שגורר .
משפט 9
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. עוד נניח ש-f רציפה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
יהי נתון. נגדיר . לפי הנתון f רציפה ב-, אזי ממשפט 6 היא אינטגרבילית ב-, לכן נוכל לבחור חלוקה P של כך ש-. כעת נגדיר חלוקה Q של ע"י . עוד נגדיר וכן . נובע כי נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-.מסקנה 1
המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-.
מסקנה 2
נניח ש-f חסומה ב- ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות כך ש-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב- ורציפה ב-. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-. נסתמך על ההכללה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-.
הגדרה: אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב- אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב- אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב- אז היא אינטגרבילית שם.
האינטגרל לפי רימן
הקדמה - הגישה של רימן
נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-. נבחר חלוקה P של : . עוד נבחר לכל k מספר ונכנה כ-P' את התת חלוקה . ז"א . בהתאם לכך נבנה סכום רימן כאשר לכל k מתקיים .
מקרב את השטח שמתחת לגרף, אך לא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לו.
נעיר שעל חלוקה אחת P של אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן . עם זאת, יתקיים תמיד . יתר על כן, ו-.
הגדרת האינטגרל לפי רימן: תהי f מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית ב- אם כאשר כל סכומי רימן שואפים לגבול אחד, שיסומן .
משפט 10
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז (לפי רימן) (לפי דרבו).
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של : . כעת נשאיף . כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, וכן לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש- קיים ושווה ל-. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים .
לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים . אם כן הוא גם שווה ל-,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו . עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם הוכחנו ש-.
משפט 11 (תכונות האינטגרל)
נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-, ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
- (לינאריות): אינטגרבילית ב- ומתקיים .
- (מונוטוניות): אם לכל אז . (חיוביות): בפרט, אם אז .
- (הכללה לאי-שיוויון המשולש): |f| אינטגרבילית ב- וגם .
- אם ב- אז ואם בקטע זה אז אז .
- אם (פונקציה קבועה) אז .
הוכחה
- . נשאיף . כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א . עצם קיום הגבול אומר ש- אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק .
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
</ol>