הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
מ |
(←אינטגרלים פשוטים) |
||
שורה 6: | שורה 6: | ||
<math>\begin{array}{l r|l} | <math>\begin{array}{l r|l} | ||
− | \underline{f(x)} && \underline{\int f(x)\mathrm dx\ {\color{Gray}-\text{constant}}}\\ | + | \underline{f(x)} && \underline{\int f(x)\mathrm {dx}\ {\color{Gray}-\text{constant}}}\\ |
c && cx\\ | c && cx\\ | ||
שורה 17: | שורה 17: | ||
a^x & (1\ne a>0) & \frac{a^x}{\ln(a)}\\ | a^x & (1\ne a>0) & \frac{a^x}{\ln(a)}\\ | ||
\frac1{1+x^2} && \arctan(x)\\ | \frac1{1+x^2} && \arctan(x)\\ | ||
− | \frac1{a^2+x^2} && \frac1a\arctan\left(\frac | + | \frac1{a^2+x^2} && \frac1a\arctan\left(\frac {x}{a}\right)\\ |
− | \ | + | \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} && \arcsin(x)\\ |
− | \ | + | \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} && \arcsin\left(\frac xa\right)\\ |
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
שורה 25: | שורה 25: | ||
===בדיקות=== | ===בדיקות=== | ||
− | # נבדוק <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac1x</math> (עבור <math>x\ne0</math>): לפי ההגדרה <math>\ln|x|=\begin{cases}\ln(x)&x>0\\\ln(-x)&x<0\end{cases}</math>. לכן עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln(x)=\frac1x</math> ועבור <math>x<0</math>, <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x</math>. {{משל}} | + | # נבדוק <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac1x</math> (עבור <math>x\ne0</math>): לפי ההגדרה <math>\ln|x|=\begin{cases}\ln(x)&x>0\\\ln(-x)&x<0\end{cases}</math>. לכן עבור <math>x>0</math> מתקיים |
− | # <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)=\frac1a\frac1{1+\left(\frac xa\right)^2}\frac1a=\ | + | <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(x)=\frac1x</math> ועבור <math>x<0</math>, <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x</math>. {{משל}} |
− | # <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\arcsin\left(\frac xa\right)=\ | + | # <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)=\frac1a\frac1{1+\left(\frac xa\right)^2}\frac1a=\frac{1}{a^2+x^2}</math>. {{משל}} |
+ | # <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arcsin\left(\frac xa\right)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}}\frac1a=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>. {{משל}} | ||
===דוגמאות חישוב=== | ===דוגמאות חישוב=== | ||
{{left|1=<span><!-- ה-span הזה מונע באג שגורם לסעיף הראשון ברשימה להחשב שורה רגילה שמתחילה בתו # (במקום ב-1.)--></span> | {{left|1=<span><!-- ה-span הזה מונע באג שגורם לסעיף הראשון ברשימה להחשב שורה רגילה שמתחילה בתו # (במקום ב-1.)--></span> | ||
− | # <math>\int\sqrt x\mathrm dx=\int x^\frac12\mathrm dx=\frac{x^\frac32}{3/2}+c=\frac23x^\frac32+c</math> | + | # <math>\int\sqrt{x}\mathrm {dx}=\int x^\frac12\mathrm dx=\frac{x^\frac32}{3/2}+c=\frac23x^\frac32+c</math> |
− | # <math>\int\ | + | # <math>\int\frac{1}{\sqrt{x-7}}\mathrm {dx}=\int(x-7)^{-\frac12}\mathrm dx=2(x-7)^\frac12+c</math> |
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{(3x-7)^{12}}=\int(3x-7)^{-12}\mathrm dx=\frac{(3x-7)^{-11}}{-11\cdot3}+c</math><div dir="rtl" align="right">(מהפיכת כלל השרשרת)</div> | # <math>\int\frac{\mathrm dx}{(3x-7)^{12}}=\int(3x-7)^{-12}\mathrm dx=\frac{(3x-7)^{-11}}{-11\cdot3}+c</math><div dir="rtl" align="right">(מהפיכת כלל השרשרת)</div> | ||
# <math>\int e^{-5x}\mathrm dx=\frac{e^{-5x}}{-5}+c</math> | # <math>\int e^{-5x}\mathrm dx=\frac{e^{-5x}}{-5}+c</math> |
גרסה מ־06:27, 16 במרץ 2016
תוכן עניינים
האינטגרל הלא מסויים
הגדרה: אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות - , שפתרונו פשוט עבור F פונקציה קדומה ל-f וקבוע c.
אינטגרלים פשוטים
בדיקות
- נבדוק (עבור ): לפי ההגדרה . לכן עבור מתקיים
ועבור , .
- .
- .
דוגמאות חישוב
- (מהפיכת כלל השרשרת)
- (למעשה, האינטגרל הזה לא אלמנטרי)
- (הפונקציה אלמנטרית אבל האינטגרל לא ידוע לנו. המסר הוא שהאינטגרציה קשה)
כלל פשוט: האינטגרל לינארי, כלומר .
אינטגרציה בחלקים
כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז . אם f' ו-g' רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:
.
דוגמאות חישוב
- . אם ננסה לפתור אינטגרל זה בדרך הפוכה נקבל , ואינטגרל זה יותר קשה מהאינטגרל המקורי.
- . נעשה שוב אינטגרציה בחלקים: ובסה"כ .
- .
- .
- ולכן .
שיטת ההצבה/שינוי משתנים
נתחיל עם כלל השרשרת: . לכן אם F קדומה ל-f אז ולפיכך .
דרך פורמלית וכללית לפתרון: נתון . ע"י הגדרה נקבל . נעביר אגף: , נחזור לאינטגרל ונקבל .
דוגמאות חישוב
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-:
- : נציב ולכן ולפיכך .
- : נציב ואז ונובע ש-.
- : נציב ולכן .
- : עבור נקבל .
- .
- : נציב ונקבל .
לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף 4: . - : נציב ונקבל .
- : נציב ואז . מכאן ש-.
- : נציב ומכאן ש-. לבסוף, ולכן .
דרך אחרת: . נגדיר ושוב נקבל - : נציב ולכן .
- : נבחר כדי לקבל .
שיטה אחרת: ואז .
שיטה אחרונה: .
קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: .