הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2"
(←תרגיל 3.4 ג-ז) |
(←ג) |
||
שורה 8: | שורה 8: | ||
====ג==== | ====ג==== | ||
אם L אינה קבוצה ריקה, אזי כמות הפתרונות בH שווה לכמות הפתרונות בL | אם L אינה קבוצה ריקה, אזי כמות הפתרונות בH שווה לכמות הפתרונות בL | ||
+ | |||
+ | =====פתרון===== | ||
+ | נוכיח את הטענה על ידי יצירת פונקציה חח"ע ועל בין H לבין L. יהיה <math>x\in L</math> כלשהו (הקיים לפי הנתון). נביט בהעתקה <math>f:L\rightarrow H</math> המוגדרת ע"י <math>f(y)=y-x</math>. יש להוכיח כי זו אכן פונקציה מוגדרת היטב (כלומר, y-x הוא פתרון של המערכת ההומוגנית) ואז יש להראות כי זה פונקציה חח"ע ועל. | ||
+ | |||
+ | דבר ראשון, נבדוק האם y-x הינו פתרון של המערכת ההומוגנית. <math>A(y-x)=Ay-Ax=b-b=0</math> כפי שרצינו. | ||
+ | |||
+ | דבר שני, נניח כי <math>y_1\neq y_2</math> לכן ברור ש<math>y_1-x\neq y_2-x</math> (במילים, לכל שני פתרונות שונים מL מתאימים שני פתרונות שונים בH). | ||
+ | |||
+ | דבר שלישי, נראה כי לכל פתרון y בH, יש פתרון בL הנשלח אליו. פתרון זה הינו כמובן y+x שכן <math>A(y+x)=Ay+Ax=0+b=b</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לכן סה"כ הראנו כי לכל פתרון בL מתאים פתרון יחיד בH ולכן הקבוצות הנ"ל הן באותו גודל. | ||
+ | |||
+ | ====ד==== |
גרסה מ־10:16, 19 ביולי 2011
שיעור שני
אלגברת מטריצות
ניתן לבצע את הכפל AB אם"ם מספר העמודות של A זהה למספר השורות של B. אמנם פעולת הכפל נראית משונה, אך נראה בהמשך כי היא משמעותית למדי.
תרגיל 3.4 ג-ז
נתונה מערכת של m משוואות בn נעלמים: Ax=b (זה זמן טוב לראות דוגמא ראשונה של המשמעות של כפל מטריצות). נסמן ב את קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה, וב את קבוצת הפתרונות של המערכת הלא-הומוגנית. הוכח את הטענות הבאות:
ג
אם L אינה קבוצה ריקה, אזי כמות הפתרונות בH שווה לכמות הפתרונות בL
פתרון
נוכיח את הטענה על ידי יצירת פונקציה חח"ע ועל בין H לבין L. יהיה כלשהו (הקיים לפי הנתון). נביט בהעתקה המוגדרת ע"י . יש להוכיח כי זו אכן פונקציה מוגדרת היטב (כלומר, y-x הוא פתרון של המערכת ההומוגנית) ואז יש להראות כי זה פונקציה חח"ע ועל.
דבר ראשון, נבדוק האם y-x הינו פתרון של המערכת ההומוגנית. כפי שרצינו.
דבר שני, נניח כי לכן ברור ש (במילים, לכל שני פתרונות שונים מL מתאימים שני פתרונות שונים בH).
דבר שלישי, נראה כי לכל פתרון y בH, יש פתרון בL הנשלח אליו. פתרון זה הינו כמובן y+x שכן .
לכן סה"כ הראנו כי לכל פתרון בL מתאים פתרון יחיד בH ולכן הקבוצות הנ"ל הן באותו גודל.