הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2"
(←ג) |
(←ד) |
||
שורה 22: | שורה 22: | ||
====ד==== | ====ד==== | ||
+ | מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש פתרון יחיד למערכת ההומוגנית | ||
+ | |||
+ | =====פתרון===== | ||
+ | נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> ובוקטור הפתרונות <math>A=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. במערכת Ax=b ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד (0,0). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====ה==== | ||
+ | מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש אינסוף פתרונות למערכת ההומוגנית | ||
+ | |||
+ | =====פתרון===== | ||
+ | נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> ובוקטור הפתרונות <math>A=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. במערכת Ax=b מעל הממשיים ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש אינסוף פתרונות. |
גרסה מ־10:23, 19 ביולי 2011
תוכן עניינים
שיעור שני
אלגברת מטריצות
ניתן לבצע את הכפל AB אם"ם מספר העמודות של A זהה למספר השורות של B. אמנם פעולת הכפל נראית משונה, אך נראה בהמשך כי היא משמעותית למדי.
תרגיל 3.4 ג-ז
נתונה מערכת של m משוואות בn נעלמים: Ax=b (זה זמן טוב לראות דוגמא ראשונה של המשמעות של כפל מטריצות). נסמן ב את קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה, וב את קבוצת הפתרונות של המערכת הלא-הומוגנית. הוכח את הטענות הבאות:
ג
אם L אינה קבוצה ריקה, אזי כמות הפתרונות בH שווה לכמות הפתרונות בL
פתרון
נוכיח את הטענה על ידי יצירת פונקציה חח"ע ועל בין H לבין L. יהיה כלשהו (הקיים לפי הנתון). נביט בהעתקה המוגדרת ע"י . יש להוכיח כי זו אכן פונקציה מוגדרת היטב (כלומר, y-x הוא פתרון של המערכת ההומוגנית) ואז יש להראות כי זה פונקציה חח"ע ועל.
דבר ראשון, נבדוק האם y-x הינו פתרון של המערכת ההומוגנית. כפי שרצינו.
דבר שני, נניח כי לכן ברור ש (במילים, לכל שני פתרונות שונים מL מתאימים שני פתרונות שונים בH).
דבר שלישי, נראה כי לכל פתרון y בH, יש פתרון בL הנשלח אליו. פתרון זה הינו כמובן y+x שכן .
לכן סה"כ הראנו כי לכל פתרון בL מתאים פתרון יחיד בH ולכן הקבוצות הנ"ל הן באותו גודל.
ד
מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש פתרון יחיד למערכת ההומוגנית
פתרון
נביט במטריצה ובוקטור הפתרונות . במערכת Ax=b ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד (0,0).
ה
מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש אינסוף פתרונות למערכת ההומוגנית
פתרון
נביט במטריצה ובוקטור הפתרונות . במערכת Ax=b מעל הממשיים ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש אינסוף פתרונות.