הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 2: שורה 2:
 
* <math>c</math> הוא קבוע.
 
* <math>c</math> הוא קבוע.
 
* <math>f,g</math> פונקציות.
 
* <math>f,g</math> פונקציות.
−
* כל אחת מהקבוצות הבאות היא קבוצת כל הפונקציות המקיימות תכונה מסויימת בקבוצה <math>A</math>:
+
* הקטע הנתון הוא הקטע הסגור <math>[a,b]</math>.
−
:* <math>C(A)</math> היא קבוצת כל הפונקציות הרציפות ב-<math>A</math>.
+
* אם מצויין שלפונקציה יש תכונה מסויימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "<math>f</math> חסומה" = "<math>f</math> חסומה ב-<math>[a,b]</math>").
−
:* <math>\mbox{Mo}(A)</math> - מונוטוניות.
+
−
::* <math>\mbox{MO}(A)</math> - מונוטוניות במובן הצר.
+
−
:* <math>\mbox{Bo}(A)</math> - חסומות.
+
−
::* החסם העליון של פונקציה ב-<math>\mbox{Bo}(I)</math> הוא <math>M</math> והתחתון - <math>m</math>.
+
−
:* <math>\mbox{Po}(A)</math> - אי-שליליות.
+
−
::* <math>\mbox{PO}(A)</math> - חיוביות.
+
−
:* <math>\mbox{INT}(A)</math> - אינטגרביליות.
+
−
::* <math>\mbox{Int}(A)</math> - אינטגרביליות מקומית.
+
−
* אם קיימת לפונקציה פונקציה קדומה היא תסומן בעזרת האות הגדולה המתאימה (למשל, הפונקציה הקדומה של <math>f</math> היא <math>F</math>).
+
 
* <math>P</math> היא חלוקה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> של הקטע הנתון כך ש-<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.
 
* <math>P</math> היא חלוקה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> של הקטע הנתון כך ש-<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.
 
:* <math>Q</math> היא העדנה של <math>P</math>.
 
:* <math>Q</math> היא העדנה של <math>P</math>.
−
:* <math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש-<math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math>.
+
:* <math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש-<math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ו-<math>\forall 2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k</math>.
  
 
=אינטגרלים=
 
=אינטגרלים=
 
* אם <math>F</math> ו-<math>G</math> קדומות ל-<math>f</math> בנקודה כלשהי אז קיים <math>c</math> כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>.
 
* אם <math>F</math> ו-<math>G</math> קדומות ל-<math>f</math> בנקודה כלשהי אז קיים <math>c</math> כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>.
−
* <math>\forall f\in\mbox{Bo}([a,b]):\ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.
+
* אם <math>f</math> חסומה ב-<math>[a,b]</math> אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.
−
* אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ-<math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו-<math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math> אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>.
+
* אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ-<math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו-<math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>.
−
* לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math> אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>.
+
* לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>.
−
* לכל <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> מתקיים <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.
+
* לכל <math>f</math> אינטגרבילית מתקיים <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.
−
* תהי <math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math>. אזי <math>\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.
+
* תהי <math>f</math> חסומה. אזי <math>\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.
−
* נניח ש-<math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math>. <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>.
+
* נניח ש-<math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>.
−
* נניח ש-<math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math>. <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.
+
* נניח ש-<math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.
−
* אם <math>f\in C([a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>.
+
* אם <math>f</math> רציפה אז <math>f</math> אינטגרבילית.
−
:* {{הערה|הכללה:}} אם <math>f\in C((a,b))\cap\mbox{Bo}((a,b))</math> אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>.
+
:* {{הערה|הכללה:}} אם <math>f</math> רציפה וחסומה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> אזי <math>f</math> אינטגרבילית.
−
::* {{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f\in C([a,b]\setminus A)\cap\mbox{Bo}([a,b])</math> כאשר <math>A</math> קבוצה סופית אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>.
+
::* {{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f</math> רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי <math>f</math> אינטגרבילית.
−
* אם <math>f\in\mbox{Mo}([a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>.  
+
* אם <math>f</math> מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.  
−
* נניח ש-<math>a<c<b</math>. אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\Big(\mbox{INT}([a,c])\cup\mbox{INT}([c,b])\Big)</math> אם"ם <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>, ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.
+
* נניח ש-<math>a<c<b</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>, ב-<math>[a,c]</math> וב-<math>[c,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>, ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.
 
:* {{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו-<math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math>.
 
:* {{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו-<math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math>.
−
* אם <math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math> אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P')</math>.
+
* אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P')</math>.
 
* הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
 
* הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
−
* '''לינאריות:''' <math>\forall f,g\in\mbox{INT}([a,b]):\ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b  f+c\int\limits_a^b g</math>.
+
* '''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b  f+c\int\limits_a^b g</math>.
−
* '''מונוטוניות:''' אם <math>f,g\in\mbox{INT}([a,b])</math> וכן <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>.
+
* '''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>.
−
:* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Po}([a,b])</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
+
:* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
−
* '''הכללה לאי-שיוויון המשולש:''' אם <math>|f|\in\mbox{INT}([a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> ו-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>.
+
* '''הכללה לאי-שיוויון המשולש:''' אם <math>|f|</math> אינטגרבילית אז <math>f</math> אינטגרבילית ו-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>.
−
* אם <math>f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Bo}([a,b])</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>.
+
* אם <math>f</math> אינטגרבילית וחסומה אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>.
−
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M</math> ו-<math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>.
+
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M</math> ו-<math>f</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>.
 
::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math>.
 
::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math>.
−
* '''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> ותהי <math>F</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f</math>. אזי <math>F\in C([a,b])</math> וכן לכל נקודה ב-<math>[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>F'=f</math>).
+
* '''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f</math>. אזי <math>F</math> רציפה וכן לכל נקודה ב-<math>[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>F'=f</math>).
−
* '''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f\in C([a,b])</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>.
+
* '''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>.
−
* לכל <math>f\in C([a,b])</math> יש פונקציה קדומה.
+
* לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה.
 
* '''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.
 
* '''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.
 
:* <math>\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>
 
:* <math>\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>
שורה 49: שורה 40:
 
:* <math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)</math>
 
:* <math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)</math>
 
* כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math> כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> ול-<math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.
 
* כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math> כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> ול-<math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.
−
* נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-<math>f\in\mbox{Po}([a,b])</math> בין <math>a</math> ל-<math>b</math> סביב ציר ה-<math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b \pi f^2</math>.
+
* נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-<math>f</math> אי-שלילית בין <math>a</math> ל-<math>b</math> סביב ציר ה-<math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b \pi f^2</math>.
−
* הממוצע של <math>f\in C([a,b])</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>.
+
* אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>.
−
* אורך הגרף של <math>f\in C([a,b])</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
+
* אם <math>f</math> בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
−
* שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f\in C([a,b])</math> סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
+
* שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
−
<!--
+
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית חסומה ע"י <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math>.
−
* תהא <math>f\in C^n([a,b])</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית חסומה ע"י <math>\int\limits_a^b R_n=\int\limits_a^b \frac{f^{(n+1)}(c)x^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm dx</math>.
+
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|</math>.
−
*  
+
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|</math>.
−
-->
+
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>.
−
* תהינה <math>f,g\in\mbox{INT}([a,\infty))</math>. אזי <math>f+cg\in\mbox{INT}([a,\infty))</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>.
+
* תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>.
−
* תהא <math>f\in\mbox{Int}([a,\infty))</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,\infty))</math> אם"ם <math>f\in\mbox{INT}([b,\infty))</math> ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>.
+
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[b,\infty)</math> ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>.
−
* <math>f\in\mbox{Mo}_\text{up}([a,\infty))</math>. אזי <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup_x f(x)<\infty</math> ואם כן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x)</math>.
+
* <math>f</math> מונוטונית עולה ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup_x f(x)<\infty</math> ואם כן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x)</math>.
−
* <math>f\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math>.
+
* <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math>.
−
* '''מבחן ההשוואה:''' נניח ש-<math>f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))</math> וכן <math>\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
+
* '''מבחן ההשוואה:''' נניח ש-<math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> וכן <math>\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
−
* '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))</math> וכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
+
* '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> וכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
 
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
 
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
−
* '''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f\in\mbox{Po}([k,\infty))\cap\mbox{Mo}_\text{down}([k,\infty))\cap\mbox{Int}([k,\infty))</math> עבור <math>k\in\mathbb N</math> כלשהו. אזי <math>f\in\mbox{INT}([k,\infty))</math> אם"ם <math>\sum_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס.
+
* '''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f</math> אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[k,\infty)</math> עבור <math>k\in\mathbb N</math> כלשהו. אזי <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\sum_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס.
 
:* {{הערה|הכללה:}} בפרט מתקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>.
 
:* {{הערה|הכללה:}} בפרט מתקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>.
 
* תהא <math>f</math> מוגדרת ב-<math>[a,\infty)</math>. <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
 
* תהא <math>f</math> מוגדרת ב-<math>[a,\infty)</math>. <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
−
* תהא <math>f\in\mbox{Int}([a,\infty))</math>. אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,\infty))</math> אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>.
+
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>.
−
* תהא <math>f\in\mbox{Int}([a,\infty))</math>. אם <math>|f|\in\mbox{INT}([a,\infty))</math> אז <math>f\in\mbox{INT}([a,\infty))</math>.
+
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אזי גם <math>f</math> אינטגרבילית בו.
−
* '''מבחן דיריכלה:''' תהא <math>f\in C([a,\infty))</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math>. כמו כן תהא <math>g\in\mbox{Mo}([a,\infty))\cap C^1([a,\infty))</math> ו-<math>\lim_{x\to\infty}g(x)=0</math>. אזי <math>f\cdot g\in\mbox{INT}([a,\infty))</math>.
+
* '''מבחן דיריכלה:''' תהא <math>f</math> רציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math>. כמו כן תהא <math>g</math> מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ו-<math>\lim_{x\to\infty}g(x)=0</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f\cdot g</math> מתכנס.
 
* '''סכימה בחלקים:''' <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> כאשר <math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math>.
 
* '''סכימה בחלקים:''' <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> כאשר <math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math>.
 
* '''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.
 
* '''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.
−
* אם <math>f,g\in\mbox{INT}((a,b])</math> אז לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
+
* אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
−
* עבור <math>a<c<b</math> ו-<math>f\in\mbox{Int}((a,b])</math>, <math>f\in\mbox{INT}((a,b])</math> אם"ם <math>f\in\mbox{INT}((a,c])</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f</math>.
+
* עבור <math>a<c<b</math> ו-<math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>, <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c]</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f</math>.
−
* תהי <math>f\in\mbox{Mo}((a,b])</math>. אזי <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f\in\mbox{Bo}((a,b])</math>.
+
* תהי <math>f</math> מונוטונית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f</math> חסומה ב-<math>(a,b]</math>.
−
* אם <math>f\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{Int}((a,b])</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.
+
* אם <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> אז <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,b]</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.
−
* '''מבחן ההשוואה:''' <math>f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])</math> וכן <math>\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>g\in\mbox{INT}((a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}((a,b])</math>.
+
* '''מבחן ההשוואה:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-<math>(a,b]</math> וכן <math>\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
−
* '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])</math> וקיים <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math>. אם <math>g\in\mbox{INT}((a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}((a,b])</math>.
+
* '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>(a,b]</math> וקיים <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math>. אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
 
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
 
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
−
* תהא <math>f\in\mbox{Int}((a,b])</math>. אזי <math>f\in\mbox{INT}((a,b])</math> אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math>.
+
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math>.
−
* תהא <math>f\in\mbox{Int}((a,b])</math>. אם <math>|f|\in\mbox{INT}((a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}((a,b])</math>.
+
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אם <math>\int\limits_a^b |f|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.

גרסה מ־17:09, 25 ביולי 2011

במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:

  • c הוא קבוע.
  • f,g פונקציות.
  • הקטע הנתון הוא הקטע הסגור [a,b].
  • אם מצויין שלפונקציה יש תכונה מסויימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "f חסומה" = "f חסומה ב-[a,b]").
  • P היא חלוקה \{x_0,x_1,\dots,x_n\} של הקטע הנתון כך ש-a=x_0<x_1<\dots<x_n=b.
  • Q היא העדנה של P.
  • P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה P כך ש-\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k] ו-\forall 2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k.

אינטגרלים

  • אם F ו-G קדומות ל-f בנקודה כלשהי אז קיים c כך ש-F(x)=G(x)+c.
  • אם f חסומה ב-[a,b] אזי m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a).
  • אם |Q|=|P|+r (כלומר, Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות) ו-f חסומה בקטע אזי 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega וכן 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega.
  • לכל חלוקה Q של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של P), אם f חסומה בקטע אזי \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q).
  • לכל f אינטגרבילית מתקיים \underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f.
  • תהי f חסומה. אזי \underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) וגם \overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P).
  • נניח ש-f חסומה. f אינטגרבילית אם"ם \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0.
  • נניח ש-f חסומה. f אינטגרבילית אם"ם לכל \varepsilon>0 קיימת חלוקה P של [a,b] כך ש-\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon.
  • אם f רציפה אז f אינטגרבילית.
  • הכללה: אם f רציפה וחסומה בקטע הפתוח (a,b) אזי f אינטגרבילית.
  • הכללה להכללה: אם f רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי f אינטגרבילית.
  • אם f מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
  • נניח ש-a<c<b. אזי f אינטגרבילית ב-[a,b], ב-[a,c] וב-[c,b] אם"ם היא אינטגרבילית ב-[a,b], ואם כן אז \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f.
  • הכללה: עבור f כנ"ל ו-a=x_0,x_1,\dots,x_n=b (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים \int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f.
  • אם f חסומה אז \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P). יתר על כן, \underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P') ו-\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P').
  • הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
  • לינאריות: עבור f,g אינטגרביליות מתקיים \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g.
  • מונוטוניות: אם f,g אינטגרביליות וכן \forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x) אזי \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g.
  • חיוביות: בפרט מתקיים שאם f אינטגרביליות ואי-שלילית אזי \int\limits_a^b f\ge0.
  • הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם |f| אינטגרבילית אז f אינטגרבילית ו-\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|.
  • אם f אינטגרבילית וחסומה אז m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a).
  • מקרה פרטי: אם \forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M ו-f אינטגרבילית אז \left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a).
  • מקרה פרטי: אם f(x)=M (פונקציה קבועה) אז \int\limits_a^b f=M(b-a).
  • המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי f אינטגרבילית ותהי F כך ש-\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f. אזי F רציפה וכן לכל נקודה ב-[a,b] שבה f רציפה, F קדומה ל-f (כלומר, F גזירה ב-[a,b] ו-F'=f).
  • נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי f רציפה. אזי \int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a).
  • לכל f רציפה יש פונקציה קדומה.
  • אינטגרציה בחלקים: נניח כי f',g' רציפות. אזי \int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx.
  • \int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g
  • שיטת ההצבה: \int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}.
  • \int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)
  • כל פונקציה רציונלית \frac pq כך ש-\deg(p)<\deg(q) ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים \frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k} כאשר A,B,C,x_0\in\mathbb R ול-x^2+bx+c אין שורשים ממשיים.
  • נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-f אי-שלילית בין a ל-b סביב ציר ה-x הוא \int\limits_a^b \pi f^2.
  • אם f רציפה אז הממוצע שלה בקטע [a,b] הוא \frac1{b-a}\int\limits_a^b f.
  • אם f בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx.
  • שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של f רציפה סביב ציר ה-x בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx.
  • תהא f בעלת נגזרת n-ית רציפה. אזי \int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n כאשר P_n הוא פיתוח טיילור מסדר n של f והשארית חסומה ע"י \int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}.
  • תהא f בעלת נגזרת רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h. אזי \int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k) והשארית חסומה ע"י \frac{b-a}2Mh כאשר M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|.
  • תהא f בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h. אזי \int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k) והשארית חסומה ע"י \frac5{12}(b-a)Mh^2 כאשר M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|.
  • תהא f בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h ו-n זוגי. אזי \int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right) והשגיאה חסומה ע"י \frac{b-a}{180}Mh^4 כאשר M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|.
  • תהיינה f,g אינטגרביליות ב-[a,\infty). אזי f+cg אינטגרבילית ב-[a,\infty) ומתקיים \int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty) ויהי b>a. אזי f אינטגרבילית ב-[a,\infty) אם"ם f אינטגרבילית ב-[b,\infty) ואם כן \int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f.
  • f מונוטונית עולה ב-[a,\infty). אזי \lim_{x\to\infty} f(x) קיים אם"ם \sup_x f(x)<\infty ואם כן \lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x).
  • f אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty). אזי \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_a^R f חסומים מלעיל, ואם לא אז \int\limits_a^\infty f=\infty.
  • מבחן ההשוואה: נניח ש-f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[a,\infty) וכן \forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x). אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[a,\infty) וכן \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R. אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • המבחן האינטגרלי לטורים: תהא f אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-[k,\infty) עבור k\in\mathbb N כלשהו. אזי \int\limits_k^\infty f מתכנס אם"ם \sum_{n=k}^\infty f(n) מתכנס.
  • הכללה: בפרט מתקיים \sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n).
  • תהא f מוגדרת ב-[a,\infty). \lim_{x\to\infty} f(x) קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty). אזי \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty). אם |f| אינטגרבילית בקטע אזי גם f אינטגרבילית בו.
  • מבחן דיריכלה: תהא f רציפה ב-[a,\infty) ונניח שהאינטגרלים החלקיים \int\limits_a^b f חסומים כאשר b\to\infty. כמו כן תהא g מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-[a,\infty) ו-\lim_{x\to\infty}g(x)=0. אזי \int\limits_a^\infty f\cdot g מתכנס.
  • סכימה בחלקים: \sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N כאשר S_n=\sum_{k=1}^n a_k.
  • משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור \sum_{n=1}^N a_n יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-\{b_n\} סדרה מונוטונית כך ש-b_n\to0. אזי \sum_{n=1}^\infty a_nb_n מתכנס.
  • אם f,g אינטגרביליות ב-(a,b] אזי לכל c מתקיים \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g.
  • עבור a<c<b ו-f אינטגרבילית מקומית ב-(a,b], f אינטגרבילית בקטע אם"ם f אינטגרבילית ב-(a,c], ואם כן \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f.
  • תהי f מונוטונית ב-(a,b]. אזי \lim_{x\to a^+}f(x) קיים אם"ם f חסומה ב-(a,b].
  • אם f אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-(a,b] אז f אינטגרבילית ב-(a,b] אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_c^b f חסומים כאשר c\to a^+.
  • מבחן ההשוואה: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-(a,b] וכן \forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x). אם \int\limits_a^b g מתכנס אזי \int\limits_a^b f מתכנס.
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-(a,b] וקיים \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}. אם \int\limits_a^b g מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-(a,b]. אזי \int\limits_a^b f מתכנס אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-(a,b]. אם \int\limits_a^b |f| מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_רשימת_משפטים&oldid=11672