הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
שורה 72: שורה 72:
 
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math>.
 
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math>.
 
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אם <math>\int\limits_a^b |f|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
 
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אם <math>\int\limits_a^b |f|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
 +
 +
=סדרות וטורים של פונקציות=
 +
==התכנסות במ"ש==
 +
===סדרות===
 +
* <math>f_n\to f</math> במ"ש על <math>I</math>, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math>, אם"ם <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|=0</math>.
 +
* נניח כי <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>I</math>, ועבור <math>x_0\in I</math> כלשהו <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> לכל <math>n</math>. אזי <math>f</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.
 +
* <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית בקטע. אזי <math>f</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>.
 +
* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>, המתכנסות במ"ש ב-<math>I</math> לפונקציה <math>g</math>. כמו כן, <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-<math>I</math>. אזי <math>f=\lim_{n\to\infty} f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> ומתקיים <math>f'=g</math>.
 +
* סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math>.
 +
===טורים===
 +
* טור פונקציות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)<\varepsilon</math>.
 +
* '''מבחן ה-M של ויירשטראס:''' נניח שכל <math>f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> וחסומה שם, כלומר <math>\forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n</math> עבור <math>M_n</math> כלשהו, וכן <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס במובן הצר. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>
 +
* נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0\in I</math> וכן <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>S</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.
 +
* <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>S</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f</math>.
 +
* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות <math>s=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה <math>S</math> כך ש-<math>S'=s</math>.
 +
 +
==טורי חזקות==
 +
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות. רדיוס ההתכנסות <math>R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> מקיים שאם הנקודה <math>x</math> מקיימת <math>|x-x_0|<R</math>  אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>R</math> הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math> לכל <math>0<r<R</math>.
 +
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם קיים <math>S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}</math> במובן הרחב אזי <math>S=R</math>.
 +
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> היא פונציה המוגדרת ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math>, כך שנגזרתה בקטע זה היא <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}</math>.
 +
:* {{הערה|הכללה:}} בתנאים הללו, <math>f</math> גזירה אינסוף פעמים ו-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math> לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא <math>R</math>.
 +
* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי לכל <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של <math>f</math> סביב <math>x_0</math>.
 +
* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math> ומתקיים לכל <math>x</math> בקטע <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math>. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא <math>R</math>.
 +
* '''משפט היחידות לטורי חזקות:''' אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math> לכל <math>x\in I\ne\varnothing</math> אזי <math>\forall n:\ a_n=b_n</math>.
 +
* '''משפט אבל:''' נניח ש-<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות בעל רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה לו, ואם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x)</math> קיים ושווה לו.
 +
* '''משפט דיני:''' נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה בקטע סגור <math>I</math> והסדרות <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N}</math> עולות לכל <math>x\in I</math> או יורדות לכל <math>x\in I</math>. כמו כן, <math>f_n\to f</math> נקודתית ו-<math>f</math> רציפה ב-<math>I</math>. אזי <math>f_n\to f</math> במ"ש.
 +
 +
=השתנות חסומה=
 +
* תהנה <math>g,h</math> פונקציות מונוטוניות עולות ב-<math>[a,b]</math> ונגדיר <math>f=g-h</math> בקטע. אזי ל-<math>f</math> יש השתנות חסומה בקטע.
 +
* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי קיימות פונקציות מונוטוניות עולות <math>g,h</math> בקטע כך ש-<math>f=g-h</math>.
 +
* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.
 +
* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

גרסה מ־18:50, 28 באוגוסט 2011

במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:

  • c הוא קבוע.
  • f,g פונקציות.
  • הקטע הנתון הוא הקטע הסגור [a,b].
  • אם מצויין שלפונקציה יש תכונה מסויימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "f חסומה" = "f חסומה ב-[a,b]").
  • P היא חלוקה \{x_0,x_1,\dots,x_n\} של הקטע הנתון כך ש-a=x_0<x_1<\dots<x_n=b.
  • Q היא העדנה של P.
  • P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה P כך ש-\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k] ו-\forall 2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k.

אינטגרלים

  • אם F ו-G קדומות ל-f בנקודה כלשהי אז קיים c כך ש-F(x)=G(x)+c.
  • אם f חסומה ב-[a,b] אזי m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a).
  • אם |Q|=|P|+r (כלומר, Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות) ו-f חסומה בקטע אזי 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega וכן 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega.
  • לכל חלוקה Q של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של P), אם f חסומה בקטע אזי \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q).
  • לכל f אינטגרבילית מתקיים \underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f.
  • תהי f חסומה. אזי \underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) וגם \overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P).
  • נניח ש-f חסומה. f אינטגרבילית אם"ם \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0.
  • נניח ש-f חסומה. f אינטגרבילית אם"ם לכל \varepsilon>0 קיימת חלוקה P של [a,b] כך ש-\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon.
  • אם f רציפה אז f אינטגרבילית.
  • הכללה: אם f רציפה וחסומה בקטע הפתוח (a,b) אזי f אינטגרבילית.
  • הכללה להכללה: אם f רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי f אינטגרבילית.
  • אם f מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
  • נניח ש-a<c<b. אזי f אינטגרבילית ב-[a,b], ב-[a,c] וב-[c,b] אם"ם היא אינטגרבילית ב-[a,b], ואם כן אז \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f.
  • הכללה: עבור f כנ"ל ו-a=x_0,x_1,\dots,x_n=b (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים \int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f.
  • אם f חסומה אז \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P). יתר על כן, \underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P') ו-\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P').
  • הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
  • לינאריות: עבור f,g אינטגרביליות מתקיים \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g.
  • מונוטוניות: אם f,g אינטגרביליות וכן \forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x) אזי \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g.
  • חיוביות: בפרט מתקיים שאם f אינטגרביליות ואי-שלילית אזי \int\limits_a^b f\ge0.
  • הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם |f| אינטגרבילית אז f אינטגרבילית ו-\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|.
  • אם f אינטגרבילית וחסומה אז m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a).
  • מקרה פרטי: אם \forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M ו-f אינטגרבילית אז \left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a).
  • מקרה פרטי: אם f(x)=M (פונקציה קבועה) אז \int\limits_a^b f=M(b-a).
  • המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי f אינטגרבילית ותהי F כך ש-\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f. אזי F רציפה וכן לכל נקודה ב-[a,b] שבה f רציפה, F קדומה ל-f (כלומר, F גזירה ב-[a,b] ו-F'=f).
  • נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי f רציפה. אזי \int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a).
  • לכל f רציפה יש פונקציה קדומה.
  • אינטגרציה בחלקים: נניח כי f',g' רציפות. אזי \int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx.
  • \int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g
  • שיטת ההצבה: \int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}.
  • \int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)
  • כל פונקציה רציונלית \frac pq כך ש-\deg(p)<\deg(q) ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים \frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k} כאשר A,B,C,x_0\in\mathbb R ול-x^2+bx+c אין שורשים ממשיים.
  • נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-f אי-שלילית בין a ל-b סביב ציר ה-x הוא \int\limits_a^b \pi f^2.
  • אם f רציפה אז הממוצע שלה בקטע [a,b] הוא \frac1{b-a}\int\limits_a^b f.
  • אם f בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx.
  • שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של f רציפה סביב ציר ה-x בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx.
  • תהא f בעלת נגזרת n-ית רציפה. אזי \int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n כאשר P_n הוא פיתוח טיילור מסדר n של f והשארית היא \int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!} עבור \min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\} כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב x_0.
  • תהא f בעלת נגזרת רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h. אזי \int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k) והשארית חסומה ע"י \frac{b-a}2Mh כאשר M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|.
  • תהא f בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h. אזי \int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k) והשארית חסומה ע"י \frac5{12}(b-a)Mh^2 כאשר M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|.
  • תהא f בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h ו-n זוגי. אזי \int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right) והשגיאה חסומה ע"י \frac{b-a}{180}Mh^4 כאשר M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|.
  • תהיינה f,g אינטגרביליות ב-[a,\infty). אזי f+cg אינטגרבילית ב-[a,\infty) ומתקיים \int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty) ויהי b>a. אזי f אינטגרבילית ב-[a,\infty) אם"ם f אינטגרבילית ב-[b,\infty) ואם כן \int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f.
  • f מונוטונית עולה ב-[a,\infty). אזי \lim_{x\to\infty} f(x) קיים אם"ם \sup_x f(x)<\infty ואם כן \lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x).
  • f אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty). אזי \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_a^R f חסומים מלעיל, ואם לא אז \int\limits_a^\infty f=\infty.
  • מבחן ההשוואה: נניח ש-f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[a,\infty) וכן \forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x). אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[a,\infty) וכן \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R. אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • המבחן האינטגרלי לטורים: תהא f אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-[k,\infty) עבור k\in\mathbb N כלשהו. אזי \int\limits_k^\infty f מתכנס אם"ם \sum_{n=k}^\infty f(n) מתכנס.
  • הכללה: בפרט מתקיים \sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n).
  • תהא f מוגדרת ב-[a,\infty). \lim_{x\to\infty} f(x) קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty). אזי \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty). אם |f| אינטגרבילית בקטע אזי גם f אינטגרבילית בו.
  • מבחן דיריכלה: תהא f רציפה ב-[a,\infty) ונניח שהאינטגרלים החלקיים \int\limits_a^b f חסומים כאשר b\to\infty. כמו כן תהא g מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-[a,\infty) ו-\lim_{x\to\infty}g(x)=0. אזי \int\limits_a^\infty f\cdot g מתכנס.
  • סכימה בחלקים: \sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N כאשר S_n=\sum_{k=1}^n a_k.
  • משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור \sum_{n=1}^N a_n יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-\{b_n\} סדרה מונוטונית כך ש-b_n\to0. אזי \sum_{n=1}^\infty a_nb_n מתכנס.
  • אם f,g אינטגרביליות ב-(a,b] אזי לכל c מתקיים \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g.
  • עבור a<c<b ו-f אינטגרבילית מקומית ב-(a,b], f אינטגרבילית בקטע אם"ם f אינטגרבילית ב-(a,c], ואם כן \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f.
  • תהי f מונוטונית ב-(a,b]. אזי \lim_{x\to a^+}f(x) קיים אם"ם f חסומה ב-(a,b].
  • אם f אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-(a,b] אז f אינטגרבילית ב-(a,b] אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_c^b f חסומים כאשר c\to a^+.
  • מבחן ההשוואה: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-(a,b] וכן \forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x). אם \int\limits_a^b g מתכנס אזי \int\limits_a^b f מתכנס.
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-(a,b] וקיים \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}. אם \int\limits_a^b g מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-(a,b]. אזי \int\limits_a^b f מתכנס אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-(a,b]. אם \int\limits_a^b |f| מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.

סדרות וטורים של פונקציות

התכנסות במ"ש

סדרות

  • f_n\to f במ"ש על I, כלומר \forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon, אם"ם \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|=0.
  • נניח כי f_n\to f במ"ש ב-I, ועבור x_0\in I כלשהו f_n רציפה ב-x_0 לכל n. אזי f רציפה ב-x_0.
  • f_n\to f במ"ש ב-[a,b] וכל f_n אינטגרבילית בקטע. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים \int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n.
  • \{f_n\}_{n\in\mathbb N} היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I, המתכנסות במ"ש ב-I לפונקציה g. כמו כן, \{f_n\} מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-I. אזי f=\lim_{n\to\infty} f_n מוגדרת ב-I ומתקיים f'=g.
  • סדרת פונקציות \{f_n\} מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר \forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon.

טורים

  • טור פונקציות \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר \forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)<\varepsilon.
  • מבחן ה-M של ויירשטראס: נניח שכל f_n מוגדרת ב-I וחסומה שם, כלומר \forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n עבור M_n כלשהו, וכן \sum_{n=1}^\infty M_n מתכנס במובן הצר. אזי \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס במ"ש על I
  • נתון כי כל f_n רציפה ב-x_0\in I וכן S=\sum_{n=1}^\infty f_n במ"ש על I. אזי S רציפה ב-x_0.
  • S=\sum_{n=1}^\infty f_n במ"ש על [a,b] וכל f_n אינטגרבילית ב-[a,b]. אזי S אינטגרבילית בקטע ומתקיים \int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f.
  • \{f_n\}_{n\in\mathbb N} היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. הטור \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות s=\sum_{n=1}^\infty f_n' מתכנס במ"ש על I. אזי \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה S כך ש-S'=s.

טורי חזקות

  • יהי \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות. רדיוס ההתכנסות R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}} מקיים שאם הנקודה x מקיימת |x-x_0|<R אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם |x-x_0|>R הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-[x_0-r,x_0+r] לכל 0<r<R.
  • יהי \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R. אם קיים S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} במובן הרחב אזי S=R.
  • יהי \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R>0. אזי f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n היא פונציה המוגדרת ב-(x_0-R,x_0+R), כך שנגזרתה בקטע זה היא f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}.
  • הכללה: בתנאים הללו, f גזירה אינסוף פעמים ו-f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k} לכל k\in\mathbb N\cup\{0\}. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא R.
  • יהי f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R>0. אזי לכל n\in\mathbb N\cup\{0\} מתקיים a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב x_0.
  • יהי f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R>0. אזי f אינטגרבילית ב-(x_0-R,x_0+R) ומתקיים לכל x בקטע \int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא R.
  • משפט היחידות לטורי חזקות: אם \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n לכל x\in I\ne\varnothing אזי \forall n:\ a_n=b_n.
  • משפט אבל: נניח ש-f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות בעל רדיוס התכנסות R. אם \sum_{n=0}^\infty a_nR^n קיים אזי \lim_{x\to x_0+R^-}f(x) קיים ושווה לו, ואם \sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n קיים אזי \lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x) קיים ושווה לו.
  • משפט דיני: נתון כי כל f_n רציפה בקטע סגור I והסדרות \{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N} עולות לכל x\in I או יורדות לכל x\in I. כמו כן, f_n\to f נקודתית ו-f רציפה ב-I. אזי f_n\to f במ"ש.

השתנות חסומה

  • תהנה g,h פונקציות מונוטוניות עולות ב-[a,b] ונגדיר f=g-h בקטע. אזי ל-f יש השתנות חסומה בקטע.
  • תהי f בעלת השתנות חסומה ב-[a,b]. אזי קיימות פונקציות מונוטוניות עולות g,h בקטע כך ש-f=g-h.
  • תהי f בעלת השתנות חסומה ב-[a,b]. אזי לכל x_0\in[a,b) קיים \lim_{x\to x_0^+} f(x) ולכל x_0\in(a,b] קיים \lim_{x\to x_0^-} f(x).
  • תהי f בעלת השתנות חסומה ב-[a,b]. אזי f אינטגרבילית ב-[a,b].
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_רשימת_משפטים&oldid=13888