הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/10.4.11"
מ |
(←דוגמאות) |
||
שורה 32: | שורה 32: | ||
</li> | </li> | ||
<li> | <li> | ||
− | <math>\int\ | + | <math>\int\limits_1^\infty x^{50}e^{-x}\mathrm dx</math>: |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | נחשב את <math>\lim_{x\to\infty}\frac{x^{50}e^{-x}}{1/x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{52}}{e^x}</math>: נפעיל את כלל לופיטל 52 פעמים ונקבל <math>\lim_{x\to\infty}\frac{52!}{e^x}=0</math>. לכן אם <math>\int\ | + | נחשב את <math>\lim_{x\to\infty}\frac{x^{50}e^{-x}}{1/x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{52}}{e^x}</math>: נפעיל את כלל לופיטל 52 פעמים ונקבל <math>\lim_{x\to\infty}\frac{52!}{e^x}=0</math>. לכן אם <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתכנס (מה שאכן מתקיים) אז האינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}} |
</li> | </li> | ||
</ol> | </ol> |
גרסה מ־16:37, 18 באוגוסט 2011
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
משפט 4 (מבחן ההשוואה)
נניח ש- ונניח ש-f,g אינטגרביליות מקומית ב-. אזי:
- אם מתכנס אז מתכנס.
- אם מתבדר אז מתבדר.
הוכחה
- עפ"י משפט 3 מתקיים , כלומר . כעת, אם מתכנס אז הוא קטן מ-, ולכן ומתכנס.
- הוכחה טריוויאלית בדרך השלילה, בעזרת סעיף 1.
משפט 5 (מבחן ההשוואה הגבולי)
נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית ואי-שליליות ב-. עוד נניח שקיים . אם מתכנס אז .
הוכחה
כיוון ש- קיים כך שלכל מתקיים , ז"א . נתון ש-g אינטגרבילית ב-, ולכן, לפי משפט 2, היא אינטגרבילית ב-. לפי משפט 1 גם אינטגרבילית ב-. נובע מכך, יחד עם משפט 4, ש-f אינטגרבילית בקטע ולפי משפט 2 היא אינטגרבילית ב-.
מסקנה
בתנאים הנ"ל, אם מתקיים גם ש- אז מתכנס אם"ם מתכנס.
הוכחה
לפי משפט 5 אם מתכנס אז מתכנס. נותר להוכיח את הכיוון השני. מכיוון ש- מתקיים ולכן, שוב לפי משפט 5, אפשר להסיק ש- מתכנס אם מתכנס.
דוגמאות
עבור כל אחד מהאינטגרלים הבאים נבדוק אם הוא מתכנס או מתבדר.
- :
פתרון
כידוע, עבור x גדול החזקות הגדולות קובעות את סדר הגודל של הביטוי. לכן עבור הפונקציה בסדר גודל . נגדיר וכן . אזי . לכן האינטגרל מתבדר.
-
:
פתרון
נגדיר וכן . מתקיים . אבל , כלומר מתבדר. לכן גם האינטגרל הנתון מתבדר.
-
:
פתרון
נחשב את : נפעיל את כלל לופיטל 52 פעמים ונקבל . לכן אם מתכנס (מה שאכן מתקיים) אז האינטגרל הנתון מתכנס.
משפט 6 (המבחן האינטגרלי לטורים)
נניח ש-f פונקציה יורדת, אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- (עבור כלשהו). אזי .
הוכחה
נזכר בהגדרת דרבו של האינטגרל. הוא סכום עליון של ו- הוא סכום תחתון. נסיק ש-. כעת, אם נתון ש- מתכנס אז הסכומים החלקיים חסומים מלעיל, ומכאן נובע שהאינטגרלים החלקיים חסומים מלעיל. נשאיף ומכיוון ש- האינטגרל מתכנס. מאידך, אם נתון כי מתכנס אז האינטגרלים החלקיים חסומים מלעיל, לכן הסכומים החלקיים חסומים מלעיל ומכיוון ש- נובע ש- מתכנס מתכנס.
מסקנה
בהוכחה הראינו שבתנאים הללו מתקיים .
דוגמאות
-
- מתכנס או מתבדר?
פתרון
נגדיר , אזי f יורדת, אינטגרבילית מקומית ואי-שלילית ב-. עפ"י משפט 6 התכנסות הטור שקולה להתכנסות האינטגרל , שמתבדר: (אם כי ההתכנסות איטית מאוד).
- ידוע לנו ש-. אם נקח, למשל, , מהו סדר הגודל של השארית R?
פתרון
נחסום את השארית מלעיל ומלרע בעזרת המסקנה למשפט 6. נגדיר אזי . מתקיים . כמו כן ולכן .
לסיכום, השארית מקיימת .
פיתחנו כמה משפטים על התכנסות עבור f אי-שלילית. עתה נחזור לפונקציה כללית f שאינטגרבילית מקומית ב-.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f מקיימת את תנאי קושי עבור אם לכל קיים כך שאם אז .
משפט 7
תהי f מוגדרת בקטע . קיים ממש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
הוכחה
תחילה נניח שקיים ונאמת את תנאי קושי. יהי נתון. לפי ההגדרה קיים כך שאם אז . מכאן נובע שאם אז ולכן מתקיים תנאי קושי.
מצד שני, אם f מקיימת את תנאי קושי, אז קיים כך שלכל מתקיים . נקבע ונובע שלכל מתקיים . לכן אם אז ומכאן ש-. לכן f חסומה בקטע ולכן סדרה חסומה. יש לה תת סדרה מתכנסת כך ש- קיים ונאמר שהוא . טענה: קיים ושווה ל-L. הוכחה: ולכן עבור נתון קיים כך שאם אז . כמו כן, עפ"י תנאי קושי יש מספר כך שאם אז . עתה נגדיר ולכן .
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
מסקנה
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. אזי האינטגרל מתכנס אם"ם האינטגרל מקיים את תנאי קושי: לכל קיים כך שאם אז .
הוכחה
לכל נגדיר ולכן . כמו כן מתקיים . עתה, מתכנס אם"ם , וזה נכון אם"ם .