הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 3"
(←שיטה שנייה (מאוחרת יותר)) |
(←שיטה שנייה (מאוחרת יותר)) |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos\theta</math> יהיה פיתרון. | לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos\theta</math> יהיה פיתרון. | ||
− | בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-<math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> ( | + | בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-<math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב). |
גרסה מ־16:49, 22 בנובמבר 2011
הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.
הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.
לפני שמתחילים
בהינתן משוואה ניתן להציב . המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה עבור מספרים כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- כי הוא פיתרון אם ורק אם הוא פיתרון של המשוואה ב-.
לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה .
הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם או ), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.
שיטה ראשונה (טרטליה)
נחפש כך שיתקיים ו-.
טענה: במצב זה, הוא שורש של המשוואה.
הוכחה: נציב ונבדוק:
מש"ל.
כדי למצוא נשים לב ש- ולכן הם שורשים של המשוואה הריבועית . נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות ואז נבחר .
שיטה שנייה (מאוחרת יותר)
נציב כאשר . אם נשתמש בזהות נקבל:
לכן, מספיק למצוא כך ש- כדי ש- יהיה פיתרון. בדרך כלל נצטרך להשתמש ב- מרוכב כדי לחלץ את ואז נצטרך להפעיל מרוכב על (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).