הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן " == איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים == '''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
== איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים == | == איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים == | ||
שורה 5: | שורה 4: | ||
'''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי לכל שדה <math>K</math> המכיל את <math>F</math>. לרוב כותבים גם <math>L/K</math>. | '''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי לכל שדה <math>K</math> המכיל את <math>F</math>. לרוב כותבים גם <math>L/K</math>. | ||
− | אם <math>K/F</math> היא הרחבת שדות, אז באופן טבעי <math>K</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>F</math>. המימד של <math>K</math> מעל <math>F</math> יסומן ב-<math>[K:F]</math>. | + | אם <math>K/F</math> היא הרחבת שדות, אז באופן טבעי <math>K</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>F</math>. המימד של <math>K</math> מעל <math>F</math> יסומן ב-<math>[K:F]</math> (הוא אינו חייב להיות סופי). |
+ | |||
+ | '''טענה ("נוסחת המכפלה"):''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות. אזי <math>[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]</math>. | ||
+ | |||
+ | '''הרעיון של ההוכחה:''' אם <math>A</math> הוא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>K</math> ו-<math>B</math> הוא בסיס ל-<math>K</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> אז הקבוצה <math>\{ab~|~a\in A, b\in B\}</math> היא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> והיא בעלת <math>[L:K][K:F]</math> איברים (זה לא טריוויאלי). | ||
+ | |||
'''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. | '''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. |
גרסה מ־14:45, 24 בנובמבר 2011
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של היא כינוי לכל שדה המכיל את . לרוב כותבים גם .
אם היא הרחבת שדות, אז באופן טבעי הוא מרחב וקטורי מעל . המימד של מעל יסומן ב- (הוא אינו חייב להיות סופי).
טענה ("נוסחת המכפלה"): יהיו שדות. אזי .
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל ו- הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל אז הקבוצה היא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל והיא בעלת איברים (זה לא טריוויאלי).
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-. האיבר נקרא אלגברי מעל אם קיים פולינום כך ש-. אם לא קיים פולינום כזה, נקרא טרנסצנדנטי מעל .