הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"
(←איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים) |
(←הרחבות של שדות) |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
'''תכונה:''' אם <math>F</math> שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של <math>F</math> הוא גם שדה. | '''תכונה:''' אם <math>F</math> שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של <math>F</math> הוא גם שדה. | ||
− | '''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math> | + | '''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math>FK</math>. |
− | + | ||
− | + | ||
== איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים == | == איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים == |
גרסה מ־15:02, 24 בנובמבר 2011
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של היא כינוי לכל שדה המכיל את . לרוב כותבים גם . באופן טבעי הוא מרחב וקטורי מעל . המימד של מעל יסומן ב- (הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי. היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי .
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל ו- הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל אז הקבוצה היא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל והיא בעלת איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו- תת שדות של . הקומפוזיטום של הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את . הוא יסומן ב-.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-. האיבר נקרא אלגברי מעל אם קיים פולינום כך ש-. אם לא קיים פולינום כזה, נקרא טרנסצנדנטי מעל .
דוגמא: הוא אלגברי מעל כי הוא מאפס את . לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים הם טרנסצנדנטיים מעל .
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב- (וגם ב-) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי שדה השברים של . קל לבדוק כי טרנסצנדנטי מעל . למעשה, כל איבר ב- הוא טרנסצנדנטי.