הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"
(←איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים) |
(←איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים) |
||
שורה 24: | שורה 24: | ||
'''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי. | '''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי. | ||
+ | |||
+ | '''הערה:''' אם <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות ו-<math>a\in L</math> אלגברי מעל <math>F</math> אז הוא גם אלגברי מעל <math>K</math>. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-<math>F[x]\subseteq K[x]</math>.) | ||
'''הגדרה:''' הרחבת שדות <math>K/F</math> נקראת אלגברית אם כל איבר ב-<math>K</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | '''הגדרה:''' הרחבת שדות <math>K/F</math> נקראת אלגברית אם כל איבר ב-<math>K</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | ||
שורה 39: | שורה 41: | ||
'''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).] | '''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).] | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר <math>[K:F]<\infty</math> היא הרחבה אלגברית. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו == | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. הראו כי <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> שדה. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F</math> ואת <math>a_1,\ldots,a_n</math>. (הערה: <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י <math>F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]</math>. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.) | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>. |
גרסה מ־15:40, 24 בנובמבר 2011
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של היא כינוי לכל שדה המכיל את . לרוב כותבים גם . באופן טבעי הוא מרחב וקטורי מעל . המימד של מעל יסומן ב- (הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי. היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי .
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל ו- הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל אז הקבוצה היא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל והיא בעלת איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו- תת שדות של . הקומפוזיטום של הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את . הוא יסומן ב-.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-. האיבר נקרא אלגברי מעל אם קיים פולינום כך ש-. אם לא קיים פולינום כזה, נקרא טרנסצנדנטי מעל .
דוגמא: הוא אלגברי מעל כי הוא מאפס את . לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים הם טרנסצנדנטיים מעל .
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב- (וגם ב-) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי שדה השברים של . קל לבדוק כי טרנסצנדנטי מעל . למעשה, כל איבר ב- הוא טרנסצנדנטי.
הערה: אם שדות ו- אלגברי מעל אז הוא גם אלגברי מעל . (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-.)
הגדרה: הרחבת שדות נקראת אלגברית אם כל איבר ב- אלגברי מעל .
סימון: תהי הרחבת שדות ו-. מסמנים .
טענה: תהי הרחבת שדות ו-. אזי אלגברי מעל אם ורק אם המימד של כמרחב וקטורי מעל סופי. במקרה זה שדה.
הוכחה: כוון אחד: נניח ש-. אזי הקבוצה היא בגודל ולכן תלויה לינארית מעל . לכן קיימים , לא כולם 0, כך ש-. אם נגדיר אז ובעצם הראינו . לכן אלגברי מעל .
כוון שני: נניח שקיים כך ש-. נסמן . מספיק להראות ש- קבוצה פורשת (מעל ) ל-. יהי אזי עבור כלשהו. קיימים פולינומים כך ש- וגם . אזי ו- כי .
כדי לראות שבמקרה זה שדה, נשים לב ש- הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
תרגיל: יהי תחום שלמות ו- שדה כך ש-. אזי שדה. [רמז: לכל ההעתקה היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]
מסקנה: אם הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר היא הרחבה אלגברית.
תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו
תרגיל: תהי הרחבת שדות ו- אלגבריים מעל . הראו כי שדה. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את ואת . (הערה: מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י . קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)
תרגיל: תהי הרחבת שדות, אלגבריים מעל ו-. הוכיחו כי הקומפוזיטום של ו- הוא .