הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"
שורה 13: | שורה 13: | ||
ד. נגדיר <math>k_{\lambda }</math>-הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> ו-<math>m_{\lambda }</math> הריבוי הגיאומטרי שלו. | ד. נגדיר <math>k_{\lambda }</math>-הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> ו-<math>m_{\lambda }</math> הריבוי הגיאומטרי שלו. | ||
− | הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו <math>(x-\lambda)^{k} </math> | + | הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר <math>k</math> שעבורו <math>(x-\lambda)^{k} </math> |
− | מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן, <math>k_{1}=2</math> <math>k_{2}=1</math> הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או | + | מחלק את הפולינום האופייני של <math>A</math>. לכן, <math>k_{1}=2</math> <math>k_{2}=1</math> הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או |
− | שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל | + | שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל <math>1</math>. לכן, <math>1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1</math>. |
+ | |||
הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, <math> m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} | הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, <math> m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} | ||
0 &1 &1 \\ | 0 &1 &1 \\ | ||
שורה 23: | שורה 24: | ||
</math> | </math> | ||
− | ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל | + | ה.הפולינום האופייני של <math>A</math> מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל <math>A</math>. |
מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. | מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. | ||
A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. | A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. | ||
הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם <math>(x-\lambda)</math> | הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם <math>(x-\lambda)</math> | ||
− | בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. | + | בפולינום המינימאלי של <math>A</math>. לכן, הבלוק הקשור לע"ע <math>2</math> הוא מסדר <math>1</math> והבלוק הקשור לע"ע <math>1</math> הוא מסדר <math>2</math>. |
לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא <math> | לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא <math> | ||
J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} | J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} |
גרסה מ־23:03, 8 בינואר 2012
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא
ב. לפולינום המינימאלי של יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של . אחרי חישוב נקבל ש- כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את . לכן הפולינום המינימאלי של A הוא .
ג. הע"ע של הם שורשי הפולינום האופייני של , שהם ו .
ד. נגדיר -הריבוי האלגברי של ע"ע ו- הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר שעבורו מחלק את הפולינום האופייני של . לכן, הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל . לכן, .
הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך,
ה.הפולינום האופייני של מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל . מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם בפולינום המינימאלי של . לכן, הבלוק הקשור לע"ע הוא מסדר והבלוק הקשור לע"ע הוא מסדר . לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא
דרך כמו שרשום בחוברת
הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר
ולכן יש בלוק והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק
אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1
ולכן צורת הז'ורדן של A היא