הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"
מתוך Math-Wiki
שורה 27: | שורה 27: | ||
א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקצייה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math>. אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math>, כאשר <math>P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>. | א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקצייה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math>. אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math>, כאשר <math>P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>. | ||
− | ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל | + | ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת: |
+ | |||
+ | נחשב נגזרות - <math>f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2</math> | ||
+ | |||
+ | <math>f',(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8</math> | ||
+ | |||
+ | |||
==שאלה 4== | ==שאלה 4== | ||
==שאלה 5== | ==שאלה 5== |
גרסה מ־18:12, 4 בפברואר 2012
(המבחן )
שאלה 1
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי פונקצ' המוגדרת בסביבת . נניח כי גזירה ב- וגם וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה ורציפה בנקודה . אזי גזירה ב-, ונגזרתה שם שווה ל- .
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב- ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים .
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: .
לפי ההנחות רציפה ב. לכן , ובאותו האופן , ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
שאלה 2
נגדיר פונ' על ידי . h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות. ואילו ולכן לפי משפט ערך הביניים .
בנקודה זו מתקיים הדרוש - .
שאלה 3
א) משפט טיילור - תהי פונקצייה מוגדרת וגזירה פעמים בסביבה של . אז , כאשר .
ב)תהי . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
נחשב נגזרות -