הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"
(←שאלה 5) |
(←שאלה 3) |
||
שורה 32: | שורה 32: | ||
נחשב נגזרות - <math>f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2</math> | נחשב נגזרות - <math>f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2</math> | ||
− | <math>f' | + | <math>f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8</math> |
+ | <math>f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6</math> | ||
+ | <math>f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0</math> | ||
+ | |||
+ | <math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+f''(2)(x-2)^2+f'''(2)(x-2)^3+0+0</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=2^3-4*4+4+(3*4-8*2+2)(x-2)+(12-8)(x-2)^2+6(x-2)^3</math> | ||
+ | |||
+ | <math>P_5(x)=-4-2(x-2)+4(x-2)^2+6(x-2)^3</math>, ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו. מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא 0, כצפוי. | ||
==שאלה 4== | ==שאלה 4== |
גרסה מ־19:44, 4 בפברואר 2012
(המבחן )
שאלה 1
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי פונקצ' המוגדרת בסביבת . נניח כי גזירה ב- וגם וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה ורציפה בנקודה . אזי גזירה ב-, ונגזרתה שם שווה ל- .
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב- ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים .
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: .
לפי ההנחות רציפה ב. לכן , ובאותו האופן , ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
שאלה 2
נגדיר פונ' על ידי . h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.
ואילו ולכן לפי משפט ערך הביניים .
בנקודה זו מתקיים הדרוש - . מש"ל.
שאלה 3
א) משפט טיילור - תהי פונקצייה מוגדרת וגזירה פעמים בסביבה של . אז , כאשר .
ב)תהי . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
נחשב נגזרות -
, ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו. מתקיים ולכן השארית היא 0, כצפוי.
שאלה 4
באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf
שאלה 5
א) סדרה ממשית תקרא סדרת קושי אם("ם):
ב)ניקח את הסדרה שהאיבר ה--י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי). היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל , אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.
שאלה 6
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
המהירות היא ולכן האינטגרל הוא , ועם תנאי ההתחלה נקבל .
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של בתחום .
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' מקבלת בנקודות 2,0,3. , , ולכן ההעתק המקסימלי הוא .