הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן השורש של קושי"
מתוך Math-Wiki
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) (←הוכחה) |
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) (←מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים) |
||
שורה 35: | שורה 35: | ||
*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1-d}{2}<1</math> | *לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1-d}{2}<1</math> | ||
− | *לכן <math>a_n<\Big(\frac{1 | + | *לכן <math>a_n<\Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n</math> |
− | *אבל <math>\sum \Big(\frac{1 | + | *אבל <math>\sum \Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס |
*לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס. | *לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס. |
גרסה מ־19:58, 4 בפברואר 2012
מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים
יהי טור חיובי. אזי:
- אם הטור מתבדר
- אם הטור מתכנס
- אם לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
הוכחה
נניח כי . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה, .
- לכן
- לכן
- לכן בפרט
ולכן הטור מתבדר.
כעת, נניח כי .
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה,
- לכן
- אבל הוא טור הנדסי מתכנס
- לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
הטורים הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.