הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"
מתוך Math-Wiki
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) |
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
0 & x=a | 0 & x=a | ||
\end{cases} </math> | \end{cases} </math> | ||
− | הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי נוכל לבחור <math>c(x)</math> שמוגדרת בסביבה הימנית | + | הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> שמוגדרת בסביבה הימנית שמקיימת <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))} </math> |
ולכן נקבל <math>\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} </math> | ולכן נקבל <math>\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} </math> | ||
− | כרצוי השיוויון האחרון | + | כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדויץ |
גרסה מ־13:58, 5 בפברואר 2012
משפט: נניח כי ונניח עוד כי גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים אז מתקיים
הוכחה: נוכל לבנות רציפות שמקיימות הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור שמוגדרת בסביבה הימנית שמקיימת ולכן נקבל כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש וממשפט הסנדויץ