הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לייבניץ"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== | ==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== | ||
− | תהי <math>a_n</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי: | + | תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי: |
− | *הטור <math>\ | + | *הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס |
− | *השארית <math>R_k=\ | + | *השארית <math>R_k=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le a_{k+1}</math> |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור | + | נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס. |
− | יהי | + | יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ- <math>\epsilon</math>. |
− | *<math>|S_m-S_n|=|(-1)^ma_m+ | + | *<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg|</math> |
נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה: | נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה: | ||
− | + | :<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
לכן | לכן | ||
− | + | :<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
כלומר | כלומר | ||
− | + | :<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
וכן הלאה עד שנקבל | וכן הלאה עד שנקבל | ||
+ | :<math>|S_m-S_n|<a_{n+1}</math> | ||
− | + | וכיון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>). | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | לפי טיעון דומה, <math>|\ | + | לפי טיעון דומה, <math>\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|=\Bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg|\le a_{k+1}</math> ולכן |
− | + | :<math>|R_k|=\lim_{K\to\infty}\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|\le a_{k+1}</math> | |
− | כפי שרצינו. | + | כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> |
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה מ־21:16, 27 בינואר 2016
משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים
תהי סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
- הטור מתכנס
- השארית מקיימת
הוכחה
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
יהי , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ- .
נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
לכן
כלומר
וכן הלאה עד שנקבל
וכיון ש שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- (ללא תלות ב- ).
לפי טיעון דומה, ולכן
כפי שרצינו.