הבדלים בין גרסאות בדף "קבוצה פורשת"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "קבוצה B של וקטורים במרחב וקטורי V מעל שדה F '''פורשת''' את המרחב, אם כל וקטור ב-v הוא [[צירוף ...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
||
שורה 3: | שורה 3: | ||
כל קבוצה B פורשת את [[הקבוצה הנפרשת]] על-ידיה. | כל קבוצה B פורשת את [[הקבוצה הנפרשת]] על-ידיה. | ||
− | '''המקרה הסופי'''. נניח ש-<math> | + | '''המקרה הסופי'''. נניח ש- <math>B=\{v_1,\dots,v_n\}</math> היא [[קבוצה סופית]]. אז B פורשת את V אם לכל <math>v\in V</math> קיימים <math>a_1,\dots,a_n\in\mathbb F</math> כך ש- <math>v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math> . |
− | '''המקרה הכללי'''. כאשר B אינה סופית נדרשת הגדרה מעט יותר מורכבת: B פורשת את V אם לכל <math> | + | '''המקרה הכללי'''. כאשר B אינה סופית נדרשת הגדרה מעט יותר מורכבת: B פורשת את V אם לכל <math>v\in V</math> קיימים <math>b_1,\dots,b_n\in B</math> ו- <math>a_1,\dots,a_n\in\mathbb F</math> כך ש- <math>v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math> (אפשר להשתמש, כביכול, בוקטורים שונים מ-B לכל וקטור v). |
− | == דוגמאות == | + | ==דוגמאות== |
+ | [[וקטורי היחידה]] <math>e_1,\dots,e_n</math> פורשים את [[מרחב הוקטורים]] <math>{\mathbb F}^n</math> . הקבוצה <math>\{1,x,x^2,\dots\}</math> פורשת את מרחב ה[[פולינום|פולינומים]] <math>{\mathbb F}[x]</math> . | ||
− | + | ==הקשר לבסיסים== | |
− | + | קבוצה פורשת ו[[קבוצה בלתי תלויה|בלתי תלויה]] היא [[בסיס]]. כל קבוצה פורשת של V מכילה [[בסיס]]. כל קבוצה המכילה בסיס היא פורשת. | |
− | == הקשר לבסיסים == | + | |
− | + | ||
− | קבוצה פורשת ו[[קבוצה בלתי תלויה|בלתי תלויה]] היא [[בסיס]]. כל קבוצה פורשת של V מכילה [[בסיס]]. כל קבוצה המכילה בסיס היא פורשת. | + | |
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] |
גרסה אחרונה מ־17:55, 27 בפברואר 2016
קבוצה B של וקטורים במרחב וקטורי V מעל שדה F פורשת את המרחב, אם כל וקטור ב-v הוא צירוף לינארי (עם מקדמים מ-F) של וקטורי B.
כל קבוצה B פורשת את הקבוצה הנפרשת על-ידיה.
המקרה הסופי. נניח ש- היא קבוצה סופית. אז B פורשת את V אם לכל קיימים כך ש- .
המקרה הכללי. כאשר B אינה סופית נדרשת הגדרה מעט יותר מורכבת: B פורשת את V אם לכל קיימים ו- כך ש- (אפשר להשתמש, כביכול, בוקטורים שונים מ-B לכל וקטור v).
דוגמאות
וקטורי היחידה פורשים את מרחב הוקטורים . הקבוצה פורשת את מרחב הפולינומים .
הקשר לבסיסים
קבוצה פורשת ובלתי תלויה היא בסיס. כל קבוצה פורשת של V מכילה בסיס. כל קבוצה המכילה בסיס היא פורשת.