הבדלים בין גרסאות בדף "סיווג נקודה חשודה"

גרסה מ־21:47, 7 במרץ 2012

הגדרת נקודה חשודה

תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם $f'(x)=0$ או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-x

סיווג נקודות חשודות

משפט. תהי f פונקציה הגזירה ברציפות n+1 פעמים בסביבת הנקודה a. עוד נניח כי

f'(a)=f''(a)=...=f^{(n)}(a)=0

f^{(n+1)}(a)\neq 0

אזי:

אם n+1 זוגי וגם $f^{(n+1)}(a)>0$ אזי a נקודת מינימום מקומי
אם n+1 זוגי וגם $f^{(n+1)}(a)<0$ אזי a נקודת מקסימום מקומי
אם n אי זוגי אזי a נקודת פיתול

הוכחה.

לפי טיילור לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסת ב-a, מתקיים

f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

לכן, אם n+1 זוגי וגם $f^{(n+1)}(a)>0$ לפי רציפות הנגזרת השנייה קיימת סביבה של a בה $f^{(n+1)}>0$ ולכן לכל x בסביבה זו מתקיים:

f(x)-f(a)\geq 0

שכן $(x-a)^{(n+1)}\geq 0$ תמיד עבור n+1 זוגי.

כלומר אם $f^{(n+1)}(a)>0$ אזי x הינה נקודת מינימום

באופן דומה, אם $f^{(n+1)}(a)<0$ אזי x הינה נקודת מקסימום

אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של $(x-a)^{(n+1)}$ חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.

לכן באופן

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 ==סיווג נקודות חשודות==
+'''משפט.''' תהי f פונקציה הגזירה '''ברציפות''' n+1 פעמים בסביבת הנקודה a. עוד נניח כי
+::<math>f'(a)=f''(a)=...=f^{(n)}(a)=0</math>
+::<math>f^{(n+1)}(a)\neq 0</math>
+אזי:
+*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום מקומי]]'''
+*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום מקומי]]'''
+*אם n אי זוגי אזי a [[נקודת פיתול]]
+'''הוכחה.'''
+לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:
+::<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
+אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסת ב-a, מתקיים
+::<math>f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
+לכן, אם n+1  זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השנייה קיימת סביבה של a בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל x בסביבה זו מתקיים:
+::<math>f(x)-f(a)\geq 0</math>
+שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\geq 0</math> תמיד עבור n+1 זוגי.
+כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי x הינה '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום]]'''
+באופן דומה, אם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי x הינה '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום]]'''
+אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.
+לכן באופן

הבדלים בין גרסאות בדף "סיווג נקודה חשודה"

גרסה מ־21:47, 7 במרץ 2012

הגדרת נקודה חשודה

סיווג נקודות חשודות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים